(2x-5)²≤(5x-2)²

Чтобы решить неравенство \((2x-5)^2 \leq (5x-2)^2\), давайте начнем с распаковки квадратов обеих сторон:

1. Раскроим левую часть: \[ (2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25 \]

2. Раскроим правую часть: \[ (5x - 2)^2 = 25x^2 - 20x + 4 \]

Теперь у нас есть неравенство: \[ 4x^2 - 20x + 25 \leq 25x^2 - 20x + 4 \]

Теперь перенесем все элементы на одну сторону неравенства, чтобы получить 0 с правой стороны: \[ 4x^2 - 20x + 25 - 25x^2 + 20x - 4 \leq 0 \] Упрощаем: \[ -21x^2 + 21 \leq 0 \] Теперь можем упростить это неравенство, разделив на -21, при этом неравенство изменит свой знак: \[ x^2 - 1 \geq 0 \]

Это можно записать как: \[ (x - 1)(x + 1) \geq 0 \]

Теперь определим, где произведение имеет положительное значение. Для этого найдем корни: \[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] \[ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \]

Теперь проведем анализ знаков на промежутках:

• Для \(x < -1\), оба множителя отрицательные, значит, произведение положительное.
• Для \(-1 < x < 1\), один множитель положительный, другой - отрицательный, значит, произведение отрицательное.
• Для \(x > 1\), оба множителя положительные, значит, произведение положительное.

Итак, неравенство \((x - 1)(x + 1) \geq 0\) верно для \(x \leq -1\) и \(x \geq 1\).

Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \]

Если у тебя есть дополнительные вопросы или если нужно прояснить какую-то часть решения, не стесняйся спрашивать!