(2x-5)²≤(5x-2)²

Решим неравенство \((2x-5)²≤(5x-2)²\).

1. Сначала разложим оба квадрата: \[ (2x-5)² = 4x² - 20x + 25 \] \[ (5x-2)² = 25x² - 20x + 4 \]

2. Подставим эти выражения в неравенство: \[ 4x² - 20x + 25 ≤ 25x² - 20x + 4 \]

3. Переносим всё на одну сторону: \[ 4x² - 20x + 25 - 25x² + 20x - 4 ≤ 0 \] Упрощая, получаем: \[ -21x² + 21 ≤ 0 \] Это можно записать как: \[ 21x² - 21 ≥ 0 \] Или: \[ x² - 1 ≥ 0 \]

4. Теперь решим неравенство \(x² - 1 ≥ 0\): \[ (x - 1)(x + 1) ≥ 0 \]

5. Определим знаки. Нули этого произведения: \[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] \[ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \]

6. Исследуем знак произведения на промежутках \((-∞, -1)\), \((-1, 1)\) и \((1, ∞)\):

   • На промежутке \((-∞, -1)\): оба множителя отрицательные → произведение положительное.
   • На промежутке \((-1, 1)\): \(x - 1\) отрицательный, \(x + 1\) положительный → произведение отрицательное.
   • На промежутке \((1, ∞)\): оба множителя положительные → произведение положительное.

7. Неравенство выполняется на промежутках: \[ (-∞, -1] \cup [1, ∞) \]

Таким образом, решением неравенства \((2x-5)²≤(5x-2)²\) будет \(x \in (-∞, -1] \cup [1, ∞)\).