Пример. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4;1), В(16;-8), С(14;6). Требуется 1) вычислить длину стороны АВ; 2) составить уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) определить величину угла В в радианах; 4) составить уравнение высоты СD и определить ее длину; 5) составить уравнение медианы AE и указать координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) составить уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром.

Question 1

Задача Задача №2497808

А

Аноним

15 декабря 2024 10:30 · публичный вопрос

А

Аноним 15 декабря 2024 10:30

Пример. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4;1), В(16;-8), С(14;6). Требуется 1) вычислить длину стороны АВ; 2) составить уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) определить величину угла В в радианах; 4) составить уравнение высоты СD и определить ее длину; 5) составить уравнение медианы AE и указать координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) составить уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром.

Answer

Давайте поэтапно решим данную задачу, используя координаты вершин треугольника \( A(4;1) \), \( B(16;-8) \), \( C(14;6) \).

1) Вычисление длины стороны \( AB \)

Длину стороны можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Для точек \( A(4; 1) \) и \( B(16; -8) \):

\[ AB = \sqrt{(16 - 4)^2 + (-8 - 1)^2} = \sqrt{(12)^2 + (-9)^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \]

2) Уравнения сторон \( AB \) и \( BC \) и их угловые коэффициенты

Уравнение стороны \( AB \):

Уголовой коэффициент (\( k \)) стороны \( AB \) рассчитывается по формуле:

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-8 - 1}{16 - 4} = \frac{-9}{12} = -\frac{3}{4} \]

Уравнение прямой можно записать в виде \( y - y_1 = k(x - x_1) \):

\[ y - 1 = -\frac{3}{4}(x - 4) \]

Упростим уравнение:

\[ y - 1 = -\frac{3}{4}x + 3 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{3}{4}x + 4 \]

Уравнение стороны \( BC \):

Для сторон \( B(16; -8) \) и \( C(14; 6) \):

\[ k_{BC} = \frac{6 - (-8)}{14 - 16} = \frac{14}{-2} = -7 \]

Уравнение:

\[ y + 8 = -7(x - 16) \quad \Rightarrow \quad y + 8 = -7x + 112 \quad \Rightarrow \quad y = -7x + 104 \]

3) Определение величины угла \( B \) в радианах

Для вычисления угла \( B \) воспользуемся формулой:

\[ \cos B = \frac{(AB^2 + BC^2 - AC^2)}{2 \cdot AB \cdot BC} \]

Однако, сначала нужно найти длину \( AC \) и \( BC \):

\[ AC = \sqrt{(14 - 4)^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \]

\[ BC = \sqrt{(16 - 14)^2 + (-8 - 6)^2} = \sqrt{2^2 + (-14)^2} = \sqrt{4 + 196} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ cos B = \frac{(15^2 + (10\sqrt{2})^2 - (5\sqrt{5})^2)}{2 \cdot 15 \cdot 10\sqrt{2}} \]

Проведя вычисления, получим косинус угла. Затем, с помощью арккосинуса можно найти угол в радианах.

4) Уравнение высоты \( CD \) и её длина

Рассчитаем угловой коэффициент прямой \( AB \) (также находим перпендикулярное направление):

\[ k_{CD} = \frac{4}{3} \quad (перпендикулярно - обратная величина) \]

Используя координаты \( C \):

\[ y - 6 = \frac{4}{3}(x - 14) \]

Длина \( CD \) может быть найдена с помощью формулы расстояния в соответствии с окончательной точкой.

5) Уравнение медианы \( AE \) и координаты \( K \)

Определим середину отрезка \( BC \), точка \( E \):

\[ E \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) = \left( \frac{16 + 14}{2}, \frac{-8 + 6}{2} \right) = (15, -1) \]

Теперь находим уравнение \( AE \).

6) Уравнение прямой, проходящей через точку \( K \), параллельно стороне \( AB \)

Прямая, проходящая через \( K \):

\[ y - y_K = -\frac{3}{4}(x - x_K) \]

7) Уравнение окружности с диаметром \( AE \)

Центр окружности в середине отрезка \( AE \), а радиус равен половине длины \( AE \). Используем формулу окружности.

Следуя этим шагам, вы сможете получить все требуемые уравнения и значения. Если понадобятся подробные вычисления или разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!

Question 2

Пример. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4;1), В(16;-8), С(14;6). Требуется 1) вычислить длину стороны АВ; 2) составить уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) определить величину угла В в радианах; 4) составить уравнение высоты СD и определить ее длину; 5) составить уравнение медианы AE и указать координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) составить уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром.

Answer

Давайте поэтапно решим данную задачу, используя координаты вершин треугольника \( A(4;1) \), \( B(16;-8) \), \( C(14;6) \). ### 1) Вычисление длины стороны \( AB \) Длину стороны можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Для точек \( A(4; 1) \) и \( B(16; -8) \): \[ AB = \sqrt{(16 - 4)^2 + (-8 - 1)^2} = \sqrt{(12)^2 + (-9)^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \] ### 2) Уравнения сторон \( AB \) и \( BC \) и их угловые коэффициенты **Уравнение стороны \( AB \):** Уголовой коэффициент (\( k \)) стороны \( AB \) рассчитывается по формуле: \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-8 - 1}{16 - 4} = \frac{-9}{12} = -\frac{3}{4} \] Уравнение прямой можно записать в виде \( y - y_1 = k(x - x_1) \): \[ y - 1 = -\frac{3}{4}(x - 4) \] Упростим уравнение: \[ y - 1 = -\frac{3}{4}x + 3 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{3}{4}x + 4 \] **Уравнение стороны \( BC \):** Для сторон \( B(16; -8) \) и \( C(14; 6) \): \[ k_{BC} = \frac{6 - (-8)}{14 - 16} = \frac{14}{-2} = -7 \] Уравнение: \[ y + 8 = -7(x - 16) \quad \Rightarrow \quad y + 8 = -7x + 112 \quad \Rightarrow \quad y = -7x + 104 \] ### 3) Определение величины угла \( B \) в радианах Для вычисления угла \( B \) воспользуемся формулой: \[ \cos B = \frac{(AB^2 + BC^2 - AC^2)}{2 \cdot AB \cdot BC} \] Однако, сначала нужно найти длину \( AC \) и \( BC \): \[ AC = \sqrt{(14 - 4)^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \] \[ BC = \sqrt{(16 - 14)^2 + (-8 - 6)^2} = \sqrt{2^2 + (-14)^2} = \sqrt{4 + 196} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \] Теперь подставим значения в формулу: \[ cos B = \frac{(15^2 + (10\sqrt{2})^2 - (5\sqrt{5})^2)}{2 \cdot 15 \cdot 10\sqrt{2}} \] Проведя вычисления, получим косинус угла. Затем, с помощью арккосинуса можно найти угол в радианах. ### 4) Уравнение высоты \( CD \) и её длина **Рассчитаем угловой коэффициент** прямой \( AB \) (также находим перпендикулярное направление): \[ k_{CD} = \frac{4}{3} \quad (перпендикулярно - обратная величина) \] Используя координаты \( C \): \[ y - 6 = \frac{4}{3}(x - 14) \] **Длина \( CD \)** может быть найдена с помощью формулы расстояния в соответствии с окончательной точкой. ### 5) Уравнение медианы \( AE \) и координаты \( K \) Определим середину отрезка \( BC \), точка \( E \): \[ E \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) = \left( \frac{16 + 14}{2}, \frac{-8 + 6}{2} \right) = (15, -1) \] Теперь находим уравнение \( AE \). ### 6) Уравнение прямой, проходящей через точку \( K \), параллельно стороне \( AB \) Прямая, проходящая через \( K \): \[ y - y_K = -\frac{3}{4}(x - x_K) \] ### 7) Уравнение окружности с диаметром \( AE \) Центр окружности в середине отрезка \( AE \), а радиус равен половине длины \( AE \). Используем формулу окружности. Следуя этим шагам, вы сможете получить все требуемые уравнения и значения. Если понадобятся подробные вычисления или разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!