В основании прямого параллелепипеда - ромб с углом 30° и стороной 8 см. Объем параллелепипеда 45 см³. Найдите площадь его поверхности.
Давайте решим вашу задачу шаг за шагом.
Найдем площадь основания: В основании параллелепипеда находится ромб, для которого дан угол 30° и сторона 8 см. Площадь ромба можно найти по формуле:
\[ S = a^2 \cdot \sin(\phi) \]
где \( a \) — длина стороны, \( \phi \) — угол между сторонами.
В нашем случае:
- \( a = 8 \) см
- \( \phi = 30° \)
Используем значение \(\sin(30°) = 0.5\):
\[ S = 8^2 \cdot \sin(30°) = 64 \cdot 0.5 = 32 \text{ см}² \]
Таким образом, площадь основания равна 32 см².
Найдем высоту параллелепипеда: Объем параллелепипеда (V) равен произведению площади основания (S) на высоту (h):
\[ V = S \cdot h \]
Из данной задачи известен объем 45 см³ и площадь основания 32 см². Подставим известные величины:
\[ 45 = 32 \cdot h \]
Отсюда можно найти высоту \( h \):
\[ h = \frac{45}{32} \approx 1.40625 \text{ см} \]
Найдем площадь поверхности: Площадь поверхности прямого параллелепипеда состоит из двух оснований и четырех боковых сторон. Площадь поверхности можно рассчитать по формуле:
\[ P = 2S + 4 \cdot S_{бок} \]
Где \( S_{бок} \) — площадь одной боковой стороны. Площадь одной боковой стороны ромбической формы равна произведению длины стороны на высоту.
Площадь боковой стороны (основание ромба совпадает с длиной стороны параллелепипеда) будет равна:
\[ S_{бок} = a \cdot h = 8 \cdot \frac{45}{32} \]
В этом случае боковые стороны имеют прямоугольную формы, у нас будет 4 боковые стороны, но для равномерности формулы мы можем использовать значение:
\[ 4 \cdot S_{бок} = 4 \cdot (8 \cdot h) = 4 \cdot (8 \times \frac{45}{32}) = 4 \cdot \frac{360}{32} = \frac{1440}{32} = 45 \text{ см}² \]
Теперь подставим обратно в формулу для площади поверхности:
\[ P = 2 \cdot 32 + 45 = 64 + 45 = 109 \text{ см}² \]
Таким образом, площадь поверхности данного параллелепипеда составляет 109 см².
