6+√6/√30+√5 сократите дробь
Чтобы сократить дробь \( \frac{6 + \sqrt{6}}{\sqrt{30} + \sqrt{5}} \), начнем с рационализации знаменателя.
- Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю: \( \sqrt{30} - \sqrt{5} \).
\[ \frac{6 + \sqrt{6}}{\sqrt{30} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{30} - \sqrt{5}}{\sqrt{30} - \sqrt{5}} = \frac{(6 + \sqrt{6})(\sqrt{30} - \sqrt{5})}{(\sqrt{30} + \sqrt{5})(\sqrt{30} - \sqrt{5})} \]
- Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов:
\[ (\sqrt{30})^2 - (\sqrt{5})^2 = 30 - 5 = 25 \]
Таким образом, знаменатель стал равен 25.
- Перейдем к числителю:
\[ (6 + \sqrt{6})(\sqrt{30} - \sqrt{5}) = 6\sqrt{30} - 6\sqrt{5} + \sqrt{6}\sqrt{30} - \sqrt{6}\sqrt{5} \]
Объединим произведения:
\[ = 6\sqrt{30} - 6\sqrt{5} + \sqrt{180} - \sqrt{30} = 6\sqrt{30} - 6\sqrt{5} + 6\sqrt{2} - \sqrt{30} \]
- Теперь запишем полное выражение:
\[ \frac{6\sqrt{30} - 6\sqrt{5} + 6\sqrt{2} - \sqrt{30}}{25} \]
- Упростим числитель. Объединим похожие слагаемые:
\[ \Rightarrow \frac{(6\sqrt{30} - \sqrt{30}) + 6\sqrt{2} - 6\sqrt{5}}{25} = \frac{(5\sqrt{30} + 6\sqrt{2} - 6\sqrt{5})}{25} \]
Теперь дробь готова:
\[ \frac{5\sqrt{30} + 6\sqrt{2} - 6\sqrt{5}}{25} \]
Это и есть окончательный результат.
