6.Відстані від точки перетину медіан трикутника до його вершин дорівнюють 26 см, 14 см, 18 см. Знайдіть довжину найбільшої медіани трикутника.

Для решения этой задачи воспользуемся теорией о медианах треугольника. Пусть \(G\) — точка пересечения медиан, которая является центроидом треугольника. Предположим, что расстояния от точки \(G\) до вершин треугольника \(A\), \(B\) и \(C\) равны \(GA = 26 \, \text{см}\), \(GB = 14 \, \text{см}\) и \(GC = 18 \, \text{см}\) соответственно.

Длина медианы, проведенной из вершины треугольника, равна \( \frac{2}{3} \) от длины отрезка, соединяющего центр тяжести и соответствующую вершину. Построим медианы:

• Медиана из вершины \(A\) (обозначим её \(m_a\)) соединяет точку \(A\) со средним пунктом отрезка \(BC\).
• Медиана из вершины \(B\) (обозначим её \(m_b\)) соединяет точку \(B\) со средним пунктом отрезка \(AC\).
• Медиана из вершины \(C\) (обозначим её \(m_c\)) соединяет точку \(C\) со средним пунктом отрезка \(AB\).

Формулы для расчета длины медиан выглядят так: \[ m_a = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}}, \] \[ m_b = \sqrt{\frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}}, \] \[ m_c = \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}}. \] где \(a\), \(b\) и \(c\) — длины сторон треугольника.

Но в данной задаче нам нужно вычислить длину медиан через расстояния от \(G\) до вершин:

1. Медиана из вершины \(A\) будет равна \(m_a = \frac{3}{2} \times GA = \frac{3}{2} \times 26 = 39 \, \text{см}\).
2. Медиана из вершины \(B\) будет равна \(m_b = \frac{3}{2} \times GB = \frac{3}{2} \times 14 = 21 \, \text{см}\).
3. Медиана из вершины \(C\) будет равна \(m_c = \frac{3}{2} \times GC = \frac{3}{2} \times 18 = 27 \, \text{см}\).

Теперь сравним полученные значения медиан: \(m_a = 39 \, \text{см}\), \(m_b = 21 \, \text{см}\), \(m_c = 27 \, \text{см}\).

Таким образом, наибольшая медиана треугольника равна \(39 \, \text{см}\).