Найти наименьшее целое решение неравенства (2x-3)^2+(3-4x)(x+5)>=82

Чтобы решить неравенство \((2x-3)^2 + (3-4x)(x+5) \geq 82\), давайте сначала упростим его.

1. Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

   \((2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9\)

   \((3-4x)(x+5) = 3x + 15 - 4x^2 - 20x = -4x^2 - 17x + 15\)

2. Подставим эти выражения в неравенство:

   \[ 4x^2 - 12x + 9 - 4x^2 - 17x + 15 \geq 82 \]

3. Сократим \(4x^2\):

   \(-12x - 17x + 9 + 15 \geq 82\)

   \(-29x + 24 \geq 82\)

4. Переносим 24 на правую сторону:

   \(-29x \geq 82 - 24\)

   \(-29x \geq 58\)

   Теперь умножим обе стороны на \(-1\) и поменяем знак неравенства:

   \(29x \leq -58\)

5. Делим обе стороны на 29:

   \(x \leq -\frac{58}{29}\)

   Упрощаем дробь:

   \(x \leq -2\)

Теперь нужно найти наименьшее целое решение. Наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому неравенству, равно \(-2\).

Таким образом, наименьшее целое решение неравенства \((2x-3)^2 + (3-4x)(x+5) \geq 82\) – это \(-2\).