В равнобедренно треугольнике с боковой стороной 4 см проведена медиана боковой стороны, равная 3 см. Найти основание треугольника и его площадь.

Давайте обозначим равнобедренный треугольник как ABC, где AB = AC = 4 см — боковые стороны, а основание BC обозначим как x см. Пусть M — середина основания BC. В этом случае медиана AM = 3 см.

Применим теорему о медиане треугольника, которая гласит, что длина медианы AM может быть вычислена по формуле:

\[ AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} \]

Подставим известные значения в формулу:

\[ 3^2 = \frac{2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4^2 - x^2}{4} \]

Находим нужные расчеты:

\[ 9 = \frac{2 \cdot 16 + 2 \cdot 16 - x^2}{4} \] \[ 9 = \frac{32 + 32 - x^2}{4} \] \[ 36 = 64 - x^2 \] \[ x^2 = 64 - 36 \] \[ x^2 = 28 \] \[ x = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \approx 5.29 \text{ см} \]

Теперь найдем площадь треугольника. Площадь равнобедренного треугольника можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]

где a — основание, а h — высота. Чтобы найти высоту h, можно использовать ту же теорему Пифагора, рассматривая треугольник AMB, где AM — медиана (3 см), AB — боковая сторона (4 см), а MB — половина основания \(\frac{x}{2} = \sqrt{7}\).

По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AM^2 + MB^2 \] \[ 4^2 = 3^2 + MB^2 \] \[ 16 = 9 + MB^2 \] \[ MB^2 = 16 - 9 = 7 \] \[ MB = \sqrt{7} \]

Теперь найдем высоту h:

\[ h = AM = 3 \text{ см} \]

Итак, подставляем в формулу для площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{7} \cdot 3 \]

Таким образом, площадь треугольника:

\[ S = 3\sqrt{7} \approx 7.94 \text{ см}^2 \]

Итак, основание треугольника равно \( 2\sqrt{7} \) см, а площадь треугольника примерно равна \( 7.94 \text{ см}^2 \).