Треугольнике АВС ∠А = 30°, ∠С = 105°, ВС = 10 см. Найдите АС.

В треугольнике ABC углы ∠А и ∠С известны, следовательно, мы можем найти угол ∠B. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Угол ∠B можно найти следующим образом:

∠B = 180° - ∠A - ∠C
∠B = 180° - 30° - 105°
∠B = 45°.

Теперь у нас есть все углы и одна сторона BC, равная 10 см. Мы можем использовать закон синусов для нахождения стороны AC. Закон синусов гласит:

\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\),

где:

• a — сторона, противоположная углу A (в данном случае AC),
• b — сторона, противоположная углу B (в данном случае AB),
• c — сторона, противоположная углу C (в данном случае BC).

Зная, что BC = 10 см, запишем это уравнение для стороны AC:

\(\frac{AC}{\sin A} = \frac{BC}{\sin C}\).

Подставляем известные значения:

\(\frac{AC}{\sin(30°)} = \frac{10}{\sin(105°)}\).

Значения синусов равны:

\(\sin(30°) = 0.5\),

\(\sin(105°) = \sin(180° - 75°) = \sin(75°) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).

Теперь мы можем подставить это в формулу:

\(\frac{AC}{0.5} = \frac{10}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}\).

Упрощаем уравнение:

\(AC = 0.5 \times \frac{10 \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\).

\(AC = \frac{20}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}.\)

Для более удобного выражения можно умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{6} - \sqrt{2}\):

\(AC = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}.\)

Нахождение знаменателя:

\((\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4.\)

Теперь подставим это обратно в уравнение:

\(AC = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2}).\)

Таким образом, длина стороны AC равна \(5(\sqrt{6} - \sqrt{2})\) см.