1)(1+√13)²-2√13= 2)(7√2)³= 3) Найти АВ,если в треугольнике АВС угол С=45°,угол В=60°,АС=7√2

1. Давайте сначала решим выражение \((1+\sqrt{13})^2 - 2\sqrt{13}\).

Сначала раскроем квадрат: \[ (1+\sqrt{13})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{13} + (\sqrt{13})^2 = 1 + 2\sqrt{13} + 13. \] Это упрощается до: \[ 1 + 2\sqrt{13} + 13 = 14 + 2\sqrt{13}. \] Теперь вычтем \(2\sqrt{13}\): \[ (14 + 2\sqrt{13}) - 2\sqrt{13} = 14. \] Итак, конечный ответ: \(14\).

2. Теперь перейдём к вычислению \((7\sqrt{2})^3\).

Мы можем воспользоваться свойством степеней: \[ (7\sqrt{2})^3 = 7^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = 343 \cdot 2^{3/2}. \] Так как \(2^{3/2} = 2\sqrt{2}\), имеем: \[ 343 \cdot 2\sqrt{2} = 686\sqrt{2}. \] Следовательно, ответ: \(686\sqrt{2}\).

3. Для нахождения стороны \(AB\) в треугольнике \(ABC\) с углом \(C=45^\circ\), углом \(B=60^\circ\) и стороной \(AC=7\sqrt{2}\), можем использовать теорему синусов:

Сначала найдем угол \(A\): \[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ. \]

Теперь применим теорему синусов: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin A}. \] Подставим значения: \[ \frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{7\sqrt{2}}{\sin 75^\circ}. \]

Зная, что \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).

Теперь подставим это в уравнение: \[ AB \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}. \]

Чтобы найти \(AB\), умножим обе стороны на \(\frac{2}{\sqrt{2}}\): \[ AB = 7 \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}. \] Упрощая, получаем: \[ AB = \frac{28}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}. \]

Таким образом, мы нашли сторону \(AB\).