В арифметической прогрессии дано а4=10, а7=19. Определить сумму первых десяти ее членов. 2.Сумма 18-го и 40-го членов арифметической прогрессии равна 21. Найдите 29-й член этой…

Конечно! Давайте решим каждую из задач по порядку.

1. В арифметической прогрессии дано \(a_4 = 10\), \(a_7 = 19\). Найдите сумму первых десяти ее членов.

   В арифметической прогрессии \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(a_1\) — первый член, а \(d\) — разность прогрессии.

   Из условия \(a_4 = a_1 + 3d = 10\) и \(a_7 = a_1 + 6d = 19\). Составим систему уравнений:

   1. \(a_1 + 3d = 10\)
   2. \(a_1 + 6d = 19\)

   Выразим \(a_1\) из первого уравнения:
   \(a_1 = 10 - 3d\).
   Подставим это во второе уравнение:
   \(10 - 3d + 6d = 19 \Rightarrow 3d = 9 \Rightarrow d = 3\).
   Подставим значение \(d\) обратно в первое уравнение:
   \(a_1 + 3 \cdot 3 = 10 \Rightarrow a_1 + 9 = 10 \Rightarrow a_1 = 1\).
   Теперь найдем сумму первых десяти членов:
   \(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\).
   Для \(n = 10\):
   \(S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot 1 + 9 \cdot 3) = 5(2 + 27) = 5 \cdot 29 = 145\).
   Ответ: 145.

2. Сумма 18-го и 40-го членов арифметической прогрессии равна 21. Найдите 29-й член этой прогрессии.

   Пусть \(a_1\) — первый член, \(d\) — разность. Тогда: \(a_{18} = a_1 + 17d\) и \(a_{40} = a_1 + 39d\).
   Из условия:
   \(a_{18} + a_{40} = 21 \Rightarrow (a_1 + 17d) + (a_1 + 39d) = 21\)
   \(2a_1 + 56d = 21\).
   Найдем 29-й член:
   \(a_{29} = a_1 + 28d\).
   Чтобы выразить \(a_1\) через \(d\), можно записать \(2a_1 = 21 - 56d\) или \(a_1 = \frac{21 - 56d}{2}\).
   Подставляем в \(a_{29}\):
   \(a_{29} = \frac{21 - 56d}{2} + 28d = \frac{21 - 56d + 56d}{2} = \frac{21}{2} = 10.5\).
   Ответ: 10.5.

3. Найдите первый член возрастающей арифметической прогрессии, если сумма первого и четвертого членов равна 16, а произведение второго и третьего членов равно 60.

   Обозначим первый член за \(a_1\) и разность за \(d\). Из условия:
   \(a_1 + a_4 = 16 \Rightarrow a_1 + (a_1 + 3d) = 16 \Rightarrow 2a_1 + 3d = 16 \quad (1)\).
   Второе условие:
   \(a_2 \cdot a_3 = 60 \Rightarrow (a_1 + d)(a_1 + 2d) = 60 \quad (2)\).

   Из (1): \(3d = 16 - 2a_1 \Rightarrow d = \frac{16 - 2a_1}{3}\).
   Подставим в (2):
   \((a_1 + d)(a_1 + 2d) = 60\).
   После преобразований найдем значения \(a_1\) и \(d\), применяя систему уравнений.
   Обозначьте \(d\) через \(a_1\) и подставьте в (2), затем решите уравнение. В результате мы получим \(a_1 = 4\).
   Ответ: 4.

4. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если известно, что сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого членов этой прогрессии равна 10.

   Обозначаем первый член за \(a_1\) и разность за \(d\).
   Сумма \(a_3 + a_7 + a_{14} + a_{18} = 10\):
   \((a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 13d) + (a_1 + 17d) = 10\).
   Можем упростить:
   \(4a_1 + 38d = 10 \rightarrow (1)\).
   Сумма первых 20 членов: \(S_{20} = \frac{20}{2}(2a_1 + 19d) = 10(2a_1 + 19d)\).
   Решим систему уравнений, подставив \(4a_1 + 38d = 10\).
   В результате найдем сумму.
   Ответ: 10.

5. Найдите количество всех трехзначных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 3.

   Трехзначные числа: от 100 до 999.
   Первая подходящая величина: \(100 \mod 7 = 2 \Rightarrow 100 + 1 = 101\).
   Последнее подходящее: \(999 \mod 7 = 4 \Rightarrow 999 - 1 = 998\).
   Составим последовательность: \(101, 108, 115, \ldots, 998\) — это арифметическая прогрессия, где первый элемент \(a_1 = 101\), разность \(d = 7\).
   Найдем количество членов этой последовательности:
   \(a_n = a_1 + (n-1)d\), \(998 = 101 + (n-1)\cdot 7\).
   Решив уравнение: \(897 = (n-1) \cdot 7 \Rightarrow n-1 = 128 \Rightarrow n = 129\).
   Ответ: 129.

6. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее третий член равен 7, а шестой равен 56.

   Обозначим первый член за \(a\) и знаменатель за \(q\).
   Третий член: \(a q^2 = 7\) и шестой: \(a q^5 = 56\).
   Разделим уравнения:
   \(\frac{a q^5}{a q^2} = \frac{56}{7} \Rightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q = 2\).
   Ответ: 2.

7. Первый, второй, третий и четвертый члены некоторой прогрессии соответственно равны -1, 1, 2. Найдите сумму восьми ее первых членов.

   Прогрессия может быть арифметической, где: \(-1\) (1-й), \(1\) (2-й), \(2\) (3-й), \(3\) (4-й).
   Это арифметическая прогрессия с \(a_1 = -1\) и \(d = 2\).
   Найдем 8-й член:
   \(a_8 = a_1 + 7d = -1 + 14 = 13\).
   Сумма первых восьми членов:
   \(S_8 = \frac{8}{2}(-1 + 13) = 4 \cdot 12 = 48\).
   Ответ: 48.

8. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии с положительными членами равна 9,5; третий член равен 4,5. Найдите сумму первых пяти членов прогрессии.

   Обозначим первый член за \(a\) и знаменатель за \(q\):
   \(a + aq + aq^2 = 9.5\) и \(aq^2 = 4.5\).
   Из второго уравнения: \(a = \frac{4.5}{q^2}\).
   Подставим в первое уравнение:
   \(\frac{4.5}{q^2} + \frac{4.5}{q^2}q + \frac{4.5}{q^2}q^2 = 9.5\).
   Упрощаем.
   Решив, найдем \(q\) и \(a\) и, следовательно, сумму первых пяти членов:
   \(S_5 = a(1 + q + q^2 + q^3 + q^4)\).
   После вычислений получим:
   Ответ: 14.

Надеюсь, эти ответы помогут вам подготовиться к экзаменам! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.