Упростите. 1) 1-2cos^2(π/4-4x/3); 2) 2cos^2 (π/4+3x/2)-1; 3) 1-2sin^2 (π/4-5x/2); 4) 2sin^2(π/4+x/2)-1;

Давайте поработаем над упрощением ваших выражений шаг за шагом. Для упрощения тригонометрических функций и применения известных тождеств будет полезно.

1. 1 - 2cos²(π/4 - 4x/3)

Напомним, что cos²(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2, поэтому: \[ 1 - 2cos^2(θ) = -cos(2θ) \] Для данного выражения, \[ 1 - 2cos^2(π/4 - 4x/3) = -cos(2(π/4 - 4x/3)) = -cos(π/2 - \frac{8x}{3}) = -sin(\frac{8x}{3}) \]

2. 2cos²(π/4 + 3x/2) - 1

Используем тождество для cos²: \[ 2cos^2(θ) - 1 = cos(2θ) \] Значит, \[ 2cos^2(π/4 + 3x/2) - 1 = cos(2(π/4 + 3x/2)) = cos(\frac{π}{2} + 3x) = -sin(3x) \]

3. 1 - 2sin²(π/4 - 5x/2)

Снова применяем известное тождество: \[ 1 - 2sin^2(θ) = cos(2θ) \] Таким образом, \[ 1 - 2sin^2(π/4 - 5x/2) = cos(2(π/4 - 5x/2)) = cos(\frac{π}{2} - 5x) = sin(5x) \]

4. 2sin²(π/4 + x/2) - 1

С аналогичным преобразованием: \[ 2sin^2(θ) - 1 = -cos(2θ) \] Здесь, \[ 2sin^2(π/4 + x/2) - 1 = -cos(2(π/4 + x/2)) = -cos(\frac{π}{2} + x) = sin(x) \]

Таким образом, мы упростили все четыре выражения:

1. -sin(8x/3)
2. -sin(3x)
3. sin(5x)
4. sin(x)

Если у вас есть другие вопросы или неясности, не стесняйтесь спрашивать!