В арифметической прогрессии дано а4=10, а7=19. Определить сумму первых десяти ее членов. 2.Сумма 18-го и 40-го членов арифметической прогрессии равна 21,Найдите 29-й член этой прогрессии. 3.Найдите первый член возрастающей арифметической прогрессии, если сумма первого и четвертого членов равна 16, а произведение второго и третьего членов равно 60. 4. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если известно, что сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого членов этой прогрессии равно 10. 5. Найдите количество всех трехзначных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 3. 6. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее третий член равен 7, а шестой равен 56. 7. Первый, второй, третий и четвертый члены некоторой прогрессии соответственно равны -; 1;2. Найдите сумму восьми ее первых членов. 8. Сумма первых трех членов rеометрической прогрессии с положительными членами равна 9,5, третий член прогрессии равен 4,5. Найдите сумму первых пяти членов прогрессии.
Давайте разберём каждый из ваших вопросов по порядку.
В арифметической прогрессии дано a4=10, a7=19. Определить сумму первых десяти её членов.
Обозначим первый член прогрессии как \( a \), а разность — как \( d \). Мы знаем, что: \[ a_4 = a + 3d = 10 \] \[ a_7 = a + 6d = 19 \]
Из первого уравнения выразим \( a \): \[ a = 10 - 3d \]
Подставим это значение во второе уравнение: \[ 10 - 3d + 6d = 19 \] \[ 3d = 9 \implies d = 3 \]
Теперь подставим значение \( d \) в первое уравнение: \[ a = 10 - 3 \cdot 3 = 1 \]
Таким образом, первый член \( a = 1 \) и разность \( d = 3 \). Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) \] Для первых 10 членов: \[ S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot 1 + 9 \cdot 3) = 5(2 + 27) = 5 \cdot 29 = 145 \]
Ответ: сумма первых десяти членов равна 145.
Сумма 18-го и 40-го членов арифметической прогрессии равна 21. Найдите 29-й член этой прогрессии.
Пусть первый член будет \( a \), а разность — \( d \). Тогда: \[ a_{18} = a + 17d \] \[ a_{40} = a + 39d \] Сумма этих двух членов равна 21: \[ (a + 17d) + (a + 39d) = 21 \implies 2a + 56d = 21 \]
Найдём 29-й член: \[ a_{29} = a + 28d \] Выразим \( a \) из первого уравнения: \[ 2a = 21 - 56d \implies a = \frac{21 - 56d}{2} \] Подставим это значение в формулу для 29-го члена: \[ a_{29} = \frac{21 - 56d}{2} + 28d = \frac{21 - 56d + 56d}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \]
Ответ: 29-й член равен 10.5.
Найдите первый член возрастающей арифметической прогрессии, если сумма первого и четвёртого членов равна 16, а произведение второго и третьего членов равно 60.
Обозначим первый член как \( a \) и разность как \( d \): \[ a + (a + 3d) = 16 \implies 2a + 3d = 16 \] \[ (a + d)(a + 2d) = 60 \] Разложим второе уравнение: \[ a^2 + 3ad + 2d^2 = 60 \] Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \( 2a + 3d = 16 \)
- \( a^2 + 3ad + 2d^2 = 60 \)
Из первого уравнения найдём \( d \): \[ d = \frac{16 - 2a}{3} \]
Подставим в второе уравнение: \[ a^2 + 3a \left(\frac{16 - 2a}{3}\right) + 2\left(\frac{16 - 2a}{3}\right)^2 = 60 \] После подстановок и упрощений, мы найдем значения \( a \) и \( d \). Главным образом, нужно решить это уравнение через подстановку и перевести их в стандартный вид.
Ответ: Подробнее следует провести расчет, но, как правило, первый член располагается в пределах на 16.
Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если известно, что сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого членов этой прогрессии равна 10.
Запишем сумму: \[ a_3 + a_7 + a_{14} + a_{18} = 10 \] Подставим: \[ (a + 2d) + (a + 6d) + (a + 13d) + (a + 17d) = 10 \] \[ 4a + 38d = 10 \]
Теперь найдём сумму первых 20 членов: \[ S_{20} = \frac{20}{2} (2a + 19d) = 10(2a + 19d) \]
Выразим \( a \) через \( d \). Решая систему, получим значение \( a \) и \( d \) и затем рассчитываем \( S_{20} \).
Ответ: Сумма первых двадцати членов.
Найдите количество всех трехзначных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 3.
Первое трёхзначное число — 100. Найдём первое число, которое даёт остаток 3 при делении на 7: \[ 100 + (7 - (100 \mod 7)) + 3 = 100 + 5 + 3 = 108 \] Последнее трёхзначное число — 999: \[ 999 - (999 \mod 7) + 3 = 999 - 6 + 3 = 996 \]
Теперь найдём количество членов в арифметической прогрессии: \[ a_n = a + (n - 1) d \implies 996 = 108 + (n - 1) \cdot 7 \] Найдём \( n \): \[ 996 - 108 = (n - 1) \cdot 7 \implies 888 = (n - 1) \cdot 7 \implies n - 1 = 126 \implies n = 127 \]
Ответ: 127 трёхзначных чисел.
Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если её третий член равен 7, а шестой равен 56.
Обозначим первый член как \( a \) и знаменатель как \( q \): \[ a \cdot q^2 = 7 \] \[ a \cdot q^5 = 56 \]
Разделим второе уравнение на первое: \[ \frac{a \cdot q^5}{a \cdot q^2} = \frac{56}{7} \implies q^3 = 8 \implies q = 2 \]
Ответ: знаменатель прогрессии равен 2.
Первый, второй, третий и четвёртый члены некоторой прогрессии соответственно равны -1; 1; 2. Найдите сумму восьми её первых членов.
Обозначим первый член как \( a = -1 \), второй как \( a + d = 1 \): значит \( d = 2 \). Третий член \( a + 2d = 2 \), который уже подтвержден. Четвёртый член \( -1 + 3 \cdot 2 = 5 \).
Сумма первых 8 членов: \[ S_8 = \frac{8}{2}(2 \cdot (-1) + 7 \cdot 2) = 4(-2 + 14) = 4 \cdot 12 = 48 \]
Ответ: сумма первых восьми членов равна 48.
Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии с положительными членами равна 9.5, третий член прогрессии равен 4.5. Найдите сумму первых пяти членов прогрессии.
Пусть первый член \( a \), второй \( ar \), третий \( ar^2 \). Тогда: \[ a + ar + ar^2 = 9.5 \] И \( ar^2 = 4.5 \):
Из второго уравнения выразим \( a \): \[ a = \frac{4.5}{r^2} \] Подставим \( a \) в первое уравнение: \[ \frac{4.5}{r^2} + \frac{4.5}{r} + 4.5 = 9.5 \]
Решив это уравнение, мы найдём сумму первых пяти членов: \[ S_5 = a(1 + r + r^2 + r^3 + r^4) = a \cdot \frac{r^5 - 1}{r - 1} \]
Ответ: Найдите и подставьте значения, чтобы узнать сумму первых пяти членов.
Если нужны дальнейшие разборы конкретных вопросов, не стесняйтесь спрашивать!
