Треугольник ABC равнобедренный - с основание АС. Найдите площадь тре-ка, если медиана ВМ-10 см а боковая сторона 26 см
Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника ABC, где основание AC, медиана BM равна 10 см, а боковые стороны AB и BC равны 26 см, мы можем использовать следующие шаги:
Определение высоты и координат: Медиана BM делит основание AC пополам. Пусть точка M — середина отрезка AC. Обозначим длину половины основания AM = MC = x. Таким образом, отрезок AC можно записать как AC = 2x.
Применение теоремы о медиане: В равнобедренном треугольнике, где BM – медиана, выполняется следующая формула для медианы: \[ BM^2 = \frac{AB^2 + AC^2}{4} - AM^2 \] Подставим известные значения: \[ 10^2 = \frac{26^2 + (2x)^2}{4} - x^2 \] Приведем все к одному знаменателю: \[ 100 = \frac{676 + 4x^2}{4} - x^2 \] Преобразуем уравнение: \[ 100 = \frac{676 + 4x^2 - 4x^2}{4} \] Упростим: \[ 100 = \frac{676}{4} \] Умножим обе стороны на 4: \[ 400 = 676 \] Поскольку это уравнение неверно, мы пересчитаем его, следуя правильной формуле для медианы.
Используя формулы, у нас есть: \[ BM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} \] Здесь:
- \(AB^2\) = \(26^2 = 676\)
- \(AC^2\) = \(x^2\)
- \(BC^2\) = \(26^2\)
Отсюда мы получаем: \[ 100 = \frac{2 \cdot 676 + 2x^2 - 676}{4} \] Упростим уравнение: \[ 400 = \frac{2 \cdot 676 + 2x^2 - 676}{4} \] \[ 400 = \frac{2 \cdot 676 - 676 + 2x^2}{4} \] \[ 400 = \frac{676 + 2x^2}{4} \] Умножив на 4: \[ 1600 = 676 + 2x^2 \] Решим для \(x^2\): \[ 1600 - 676 = 2x^2 \] \[ 924 = 2x^2 \] \[ x^2 = 462 \]
Теперь, зная половину основания, мы можем найти высоту BM, которая равна 10 см. Площадь треугольника можно рассчитать по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h \] Где \(h\) – высота треугольника. У нас уже есть величины:
- \(AC = 2x = 2\sqrt{462}\)
- \(h = 10\)
Подставляем значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{462} \cdot 10 = 10\sqrt{462} \]
В итоге площадь треугольника равна \(10 \sqrt{462} \, \text{см}^2\).
