Решить систему методом Крамера { 2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 2 3𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = −2 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 1

Чтобы решить систему уравнений методом Крамера, сначала запишем систему:

\[ \begin{cases} 2x_1 - x_2 + x_3 = 2 \\ 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 = -2 \\ x_1 - 2x_2 + x_3 = 1 \end{cases} \]

Шаг 1: Составляем матрицу коэффициентов \(A\) и определитель \(D\).

Матрица коэффициентов:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \]

Теперь вычислим определитель \(D\):

\[ D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} \]

Вычислим определитель:

\[ D = 2 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \]

Теперь найдем отдельные определители:

\[ \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - (-2) \cdot 2 = 2 + 4 = 6 \]

\[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 1 \]

\[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-2) - 2 \cdot 1 = -6 - 2 = -8 \]

Теперь подставим значения в формулу для \(D\):

\[ D = 2 \cdot 6 + 1 + 1 \cdot (-8) = 12 + 1 - 8 = 5 \]

Шаг 2: Находим определители \(D_{x_1}\), \(D_{x_2}\), \(D_{x_3}\).

Заменяем первый столбец матрицы \(A\) свободными членами (правая часть системы):

\[ D_{x_1} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} \]

Вычисляем:

\[ D_{x_1} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \]

Для определителей:

\[ \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 6 \quad (как мы уже считали) \]

\[ \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = -4 \]

\[ \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 \cdot (-2) - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2 \]

Теперь подставляем:

\[ D_{x_1} = 2 \cdot 6 + 4 + 2 = 12 + 4 + 2 = 18 \]

Теперь найдем \(D_{x_2}\), заменив второй столбец:

\[ D_{x_2} = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]

И аналогично вычислываем \(D_{x_2}\) и \(D_{x_3}\).

Кратко: получаем \(D_{x_2}\) и \(D_{x_3}\), после этого вычисляем:

\[ x_1 = \frac{D_{x_1}}{D}, \quad x_2 = \frac{D_{x_2}}{D}, \quad x_3 = \frac{D_{x_3}}{D} \]

В завершение, значения \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) можно получить по результатам определителей и основного определителя \(D\).

Таким образом, вы сможете решить систему уравнений методом Крамера. Удачи в учёбе!