Один из катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы на 1 1 см, а другой — на 8 8 см. Найди все стороны треугольника, если его периметр равен 30 30 см.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим:

• один из катетов как \( a \),
• другой катет как \( b \),
• гипотенузу как \( c \).

Согласно условию, мы знаем следующее:

1. \( c = a + 1 \) (гипотенуза больше первого катета на 1 см)
2. \( c = b + 8 \) (гипотенуза больше второго катета на 8 см)

Также нас просят учесть, что периметр прямоугольного треугольника равен 30 см: \[ P = a + b + c = 30 \]

Теперь заменим \( c \) в уравнении периметра. Мы можем выразить один катет через другой:

• Из первого уравнения: \( a = c - 1 \)
• Из второго уравнения: \( b = c - 8 \)

Подставим \( c \) в уравнение периметра: \[ a + b + c = (c - 1) + (c - 8) + c = 30 \] Соберем все \( c \): \[ 3c - 9 = 30 \]

Теперь решим это уравнение: \[ 3c = 39 \] \[ c = 13 \]

Теперь подставим значение \( c \) обратно, чтобы найти \( a \) и \( b \):

1. Из \( a = c - 1 \): \[ a = 13 - 1 = 12 \]

2. Из \( b = c - 8 \): \[ b = 13 - 8 = 5 \]

Теперь мы можем подвести итог:

• \( a = 12 \) см,
• \( b = 5 \) см,
• \( c = 13 \) см.

Таким образом, стороны прямоугольного треугольника: 12 см, 5 см и 13 см. Эти значения удовлетворяют всем условиям задачи.