3) Решите задачу. В чате друзей состоит 48 человек, ребята решили проголосовать за следующее место общей прогулки. За парк проголосовали 27 человек, за музей - 30, за пиццерию - 32, за музей и парк - 18, за парк и пиццерию - 13, за все три места проголосовали 9 человек. Ребята решили, что примут решение только после того, когда проголосуют все. Сколько ребят еще не проголосовали?
Чтобы решить задачу, давайте используем метод включения-исключения.
Обозначим:
- \( A \) – количество людей, проголосовавших за парк,
- \( B \) – количество людей, проголосовавших за музей,
- \( C \) – количество людей, проголосовавших за пиццерию.
Из условия мы можем записать:
- \( |A| = 27 \)
- \( |B| = 30 \)
- \( |C| = 32 \)
- \( |A \cap B| = 18 \) (проголосовали за музей и парк),
- \( |A \cap C| = 13 \) (проголосовали за парк и пиццерию),
- \( |B \cap C| \) - количество людей, проголосовавших за музей и пиццерию (это мы найдем позже),
- \( |A \cap B \cap C| = 9 \) (проголосовали за все три места).
Сначала найдем общее количество голосов, используя формулу включения-исключения: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \]
Подставим известные нам значения: \[ |A \cup B \cup C| = 27 + 30 + 32 - 18 - 13 - |B \cap C| + 9 \] Теперь, упрощаем это уравнение: \[ |A \cup B \cup C| = 27 + 30 + 32 - 18 - 13 + 9 - |B \cap C| \] \[ |A \cup B \cup C| = 67 - |B \cap C| \]
Теперь, чтобы определить \( |B \cap C| \), используем дополнительную информацию: Количество людей, которые хотя бы один раз проголосовали, не может превышать 48. Таким образом: \[ |A \cup B \cup C| \leq 48 \]
Подставляем: \[ 67 - |B \cap C| \leq 48 \] \[ |B \cap C| \geq 67 - 48 \] \[ |B \cap C| \geq 19 \]
Теперь подставим значение \( |B \cap C| = 19 \) в уравнение для \( |A \cup B \cup C| \): \[ |A \cup B \cup C| = 67 - 19 = 48 \]
Таким образом, все 48 человек проголосовали.
Таким образом, количество ребят, которые еще не проголосовали, будет: \[ 48 - 48 = 0 \]
Ответ: Ни одного не осталось, все ребята уже проголосовали.
