На рёбрах DA, DB и DC отметили соответственно точки E, F и K так, чтоDE/DA=DF/DB=DK/DC. Докажите, что плоскости EFK и ABC параллельны

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами параллельных плоскостей и пропорциональными отрезками.

Из условия задачи известно, что на рёбрах \( DA \), \( DB \) и \( DC \) отметили точки \( E \), \( F \) и \( K \) соответственно, такие что \(\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC}\). Обозначим это общее отношение как \( k \):

\[ k = \frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC}. \]

Это также означает, что:

\[ DE = k \cdot DA, \quad DF = k \cdot DB, \quad DK = k \cdot DC. \]

Теперь представим, что \( E \), \( F \) и \( K \) делят рёбра \( DA \), \( DB \) и \( DC \) в одинаковых отношениях \( k \). Поскольку \( E \), \( F \) и \( K \) находятся на концах отрезков, которые делятся в одинаковых пропорциях, можно сделать вывод, что векторы \( \overrightarrow{EF} \), \( \overrightarrow{FB} \), и \( \overrightarrow{KA} \) будут параллельны.

Используя свойства параллельных плоскостей, заключаем, что поскольку точки \( E \), \( F \) и \( K \) расположены в одинаковом отношении по соответствующим рёбрам, плоскость \( EFK \) будет параллельна плоскости \( ABC \).

Таким образом, мы доказали, что плоскости \( EFK \) и \( ABC \) действительно параллельны.