Найди площадь треугольника  M N K MNK, в котором  ∠ M = 45 ° ∠M=45°, из точки  N N проведена высота  N Q NQ, при этом  M Q = 7 MQ=7 мм,  Q K = 6 QK=6 мм. S M N K = S MNK ​ = мм 2 2

Чтобы найти площадь треугольника \( S_{MNK} \), в котором известны углы и длины сторон, можно воспользоваться формулой для площади через основание и высоту.

В нашем случае, сторону \( MK \) можно рассматривать как основание, а высоту \( NQ \) как перпендикуляр, опущенный из точки \( N \) на сторону \( MK \).

Шаг 1: Найдем длину основания \( MK \)

Так как \( MQ = 7 \) мм и \( QK = 6 \) мм, длина основания \( MK \) будет равна: \[ MK = MQ + QK = 7 \, \text{мм} + 6 \, \text{мм} = 13 \, \text{мм}. \]

Шаг 2: Найдем высоту \( NQ \)

Поскольку угол \( \angle M = 45^\circ \), мы можем воспользоваться свойствами треугольников. В данном случае, высота \( NQ \) делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Мы можем использовать соотношения в прямоугольном треугольнике для нахождения высоты.

Так как угол \( \angle MQN = 45^\circ \), можно сказать, что \( NQ \) равна \( MQ \): \[ NQ = MQ \cdot \sin(45^\circ) = 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \, \text{мм}. \]

Шаг 3: Высчитать площадь

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \[ S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot NQ. \] Подставим значения, которые мы нашли: \[ S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot 13 \, \text{мм} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{2} \, \text{мм} = \frac{91\sqrt{2}}{4} \, \text{мм}^2. \]

Таким образом, площадь треугольника \( S_{MNK} \) равна \( \frac{91\sqrt{2}}{4} \, \text{мм}^2 \).