ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРОВНЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. 1.Товарному поезду до города необходимо проехать 70 км. Отправление поезда задержалось на 2 часа. Чтобы приехать в город…

Давайте решим оба задания по порядку.

Задача 1

Условие: Товарному поезду до города необходимо проехать 70 км. Отправление поезда задержалось на 2 часа. Чтобы приехать в город вовремя, скорость поезда увеличили на 4 км/ч. Какой должна была быть первоначально запланированная скорость поезда?

Обозначим переменные:

• Пусть \( v \) – первоначально запланированная скорость поезда (км/ч).
• Время в пути без задержки: \( t = \frac{70}{v} \) часов.
• Время в пути с задержкой: \( t - 2 = \frac{70}{v + 4} \).

Составим уравнение: Поскольку время с задержкой составляет 2 часа меньше, мы можем записать уравнение: \[ \frac{70}{v} - 2 = \frac{70}{v + 4} \]

Умножим обе стороны на \( v(v + 4) \) для устранения дробей: \[ 70(v + 4) - 2v(v + 4) = 70v \] Раскроем скобки: \[ 70v + 280 - 2v^2 - 8v = 70v \] Соберем все в одну сторону: \[ -2v^2 - 8v + 280 = 0 \] Упрощаем: \[ 2v^2 + 8v - 280 = 0 \] Разделим на 2: \[ v^2 + 4v - 140 = 0 \]

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 16 + 560 = 576 \] Корни уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 24}{2} \] Таким образом, получаем два решения: \[ v_1 = \frac{20}{2} = 10 \quad (v_1 - положительное) \] \[ v_2 = \frac{-28}{2} = -14 \quad (v_2 - отрицательное, не рассматриваем) \]

Ответ: Первоначально запланированная скорость поезда составляет 10 км/ч.

Задача 2

Условие: Моторная лодка проплыла 24 км от пристани до острова. На обратном пути она увеличила скорость на 1 км/ч и провела в пути на 2 часа меньше. С какой скоростью плыла лодка от острова до пристани?

Обозначим переменные:

• Пусть \( v \) – скорость лодки от пристани до острова (км/ч).

Время в пути от пристани до острова: \[ t_1 = \frac{24}{v} \]

Время в пути на обратном пути: Скорость при возвращении: \( v + 1 \) км/ч. \[ t_2 = \frac{24}{v + 1} \]

Составим уравнение: По условию, время на обратном пути меньше на 2 часа: \[ t_1 - t_2 = 2 \] Подставляем значения: \[ \frac{24}{v} - \frac{24}{v + 1} = 2 \]

Умножим на \( v(v + 1) \) для устранения дробей: \[ 24(v + 1) - 24v = 2v(v + 1) \] Раскроем скобки: \[ 24v + 24 - 24v = 2v^2 + 2v \] Соберем уравнение: \[ 24 = 2v^2 + 2v \implies 2v^2 + 2v - 24 = 0 \] Разделим на 2: \[ v^2 + v - 12 = 0 \]

Находим корни уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \] Корни: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 7}{2} \] Таким образом, получаем два решения: \[ v_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad (v_1 - положительное) \] \[ v_2 = \frac{-8}{2} = -4 \quad (v_2 - отрицательное, не рассматриваем) \]

Ответ: Скорость лодки от острова до пристани составила 3 км/ч.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить другой материал, с радостью помогу!