3.47. Два кубика (малый и большой) изготовили из одного и того же материала. Кубик с длиной ребра а имеет массу т . Через сере- дины противоположных граней большого кубика, длина ребра которого равна 3а, проделали три сквозных квадратных отвер- стия с размерами а х а. Оси отверстий взаимно перпендикулярны (см. рисунок). Какова масса М дырявого кубика?

Чтобы найти массу дырявого кубика, нужно сначала определить объем и массу полного большого кубика, а затем вычесть массу материала, удаленного с помощью отверствий.

1. Определение массы и объема полного большого кубика:

   • Длина ребра большого кубика \( L \) равна \( 3a \).
   • Объем большого кубика: \[ V_{большого} = L^3 = (3a)^3 = 27a^3. \]
   • Плотность материала можно найти из массы и объема малого кубика: \[ \rho = \frac{m}{a^3}, \] где \( m \) — масса малого кубика.
   • Таким образом, масса большого кубика: \[ M_{большого} = \rho \cdot V_{большого} = \frac{m}{a^3} \cdot 27a^3 = 27m. \]

2. Определение объема и массы отверстий:

   • Каждое отверстие имеет размеры \( a \times a \), и, так как их три, высота (или глубина) отверстий равна \( 3a \) (поскольку они проходят через весь большой кубик).
   • Объем одного отверстия: \[ V_{отверстия} = a \times a \times 3a = 3a^3. \]
   • Объем всех трех отверстий: \[ V_{всех \, отверстий} = 3 \cdot V_{отверстия} = 3 \cdot 3a^3 = 9a^3. \]
   • Масса материала, удаленного с помощью отверстий: \[ M_{отверстий} = \rho \cdot V_{всех \, отверстий} = \frac{m}{a^3} \cdot 9a^3 = 9m. \]

3. Определение массы дырявого кубика:

   • Масса дырявого кубика: \[ M_{дырявого} = M_{большого} - M_{отверстий} = 27m - 9m = 18m. \]

Таким образом, масса дырявого кубика \( M \) равна \( 18m \).