Для решения данной задачи, давайте сначала рассмотрим, как работает динамометр. Динамометр измеряет силу, действующую на пружину, которая изменяет её длину. Ваша задача состоит в том, чтобы определить длину пружины динамометра без нагрузки, т.е. когда на неё не действует никакая сила.
У нас есть два условия с известными весами гирь и соответствующими длинами пружины:
- При весе гирьки 4.5 Н длина пружины была 8 см.
- При весе гирьки 3 Н длина пружины была 6 см.
Для определения длины пружины без нагрузки, давайте обозначим:
- ( L_0 ) — длина пружины без нагрузки (искомая величина);
- ( L_1 ) = 8 см — длина при нагрузке 4.5 Н;
- ( L_2 ) = 6 см — длина при нагрузке 3 Н.
Согласно закону Гука, удлинение пружины пропорционально приложенной силе. Это можно записать в виде:
[ F = k \cdot (L - L_0), ]
где ( F ) — сила, ( k ) — жесткость пружины, ( L ) — длина пружины, а ( L_0 ) — длина без нагрузки.
Для первого случая (4.5 Н):
[ 4.5 = k \cdot (8 - L_0) ]
Для второго случая (3 Н):
[ 3 = k \cdot (6 - L_0) ]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( 4.5 = k \cdot (8 - L_0) ),
- ( 3 = k \cdot (6 - L_0) ).
Теперь выразим ( k ) из обоих уравнений:
Из первого уравнения:
[ k = \frac{4.5}{8 - L_0}, ]
Из второго уравнения:
[ k = \frac{3}{6 - L_0}. ]
Теперь мы можем приравнять два выражения для ( k ):
[ \frac{4.5}{8 - L_0} = \frac{3}{6 - L_0}. ]
Теперь перекрестно перемножим:
[ 4.5(6 - L_0) = 3(8 - L_0). ]
Раскроем скобки:
[ 27 - 4.5L_0 = 24 - 3L_0. ]
Теперь соберем все ( L_0 ) на одной стороне уравнения и константы на другой:
[ 27 - 24 = 4.5L_0 - 3L_0, ]
[ 3 = 1.5L_0. ]
Теперь найдем ( L_0 ):
[ L_0 = \frac{3}{1.5} = 2 \text{ см}. ]
Таким образом, длина пружины динамометра без нагрузки составляет 2 см.
