В треугольнике АВС угол С равен 90°, М середина стороны АB, АB=64, ВC=44. Найдите СМ.
В треугольнике ABC, где угол C равен 90°, M — середина стороны AB, можно использовать теорему Пифагора для нахождения нужной длины.
Давайте обозначим координаты точек:
- C(0, 0) (так как C — это угол прямой),
- A(0, h) и B(b, 0).
Поскольку M — середина отрезка AB, его координаты M можно вычислить, как: \[ M\left(\frac{0 + b}{2}, \frac{h + 0}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right). \]
Теперь нам известны длины AB и BC:
- AB = 64,
- BC = 44.
Согласно свойствам треугольника с прямым углом, можем записать уравнение: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2. \] Подставляем известные значения: \[ 64^2 = AC^2 + 44^2. \] Это приводит к: \[ 4096 = AC^2 + 1936. \] Таким образом, можно найти AC: \[ AC^2 = 4096 - 1936 = 2160 \quad \Rightarrow \quad AC = \sqrt{2160} \approx 46.55. \]
Теперь найдем длину CM с использованием теоремы о средней линии в треугольнике. Для этого: \[ CM^2 = \frac{1}{2} (AC^2 + BC^2) - \frac{1}{4} AB^2. \]
Подставив известные значения: \[ CM^2 = \frac{1}{2} (46.55^2 + 44^2) - \frac{1}{4} (64^2). \] Прежде всего, вычислим AC^2 и BC^2: \[ AC^2 = 2160, \quad BC^2 = 1936, \quad AB^2 = 4096. \]
Используем их в формуле: \[ CM^2 = \frac{1}{2} (2160 + 1936) - \frac{1}{4} (4096). \] Это равно: \[ CM^2 = \frac{1}{2} \cdot 4096 - 1024 = 2048 - 1024 = 1024 \quad \Rightarrow \quad CM = \sqrt{1024} = 32. \]
Итак, длина CM равна 32.
