Определить массу и среднюю плотность вещества Луны, если ускорение свободного падения на её поверхности 𝑔л = 1,63 м/с 2 ; радиус Луны 𝑅л = 1,73 · 106 м
Чтобы определить массу и среднюю плотность вещества Луны, мы можем воспользоваться законоподобной формулой, связывающей ускорение свободного падения, массу и радиус планеты или спутника.
Формула для ускорения свободного падения на поверхности небесного тела выглядит следующим образом:
\[ g = \frac{G \cdot M}{R^2} \]
где:
- \( g \) — ускорение свободного падения на поверхности Луны (1,63 м/с²),
- \( G \) — гравитационная постоянная (\( 6,674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2 \)),
- \( M \) — масса Луны,
- \( R \) — радиус Луны (1,73 × 10^6 м).
Перепишем формулу для нахождения массы Луны:
\[ M = \frac{g \cdot R^2}{G} \]
Теперь подставим известные значения:
Подставим значения:
- \( g = 1,63 \, \text{м/с}^2 \)
- \( R = 1,73 \times 10^6 \, \text{м} \)
Подсчитаем \( R^2 \): \[ R^2 = (1,73 \times 10^6)^2 = 2,9929 \times 10^{12} \, \text{м}^2 \]
Подставим в формулу: \[ M = \frac{1,63 \cdot 2,9929 \times 10^{12}}{6,674 \times 10^{-11}} \]
\[ M \approx \frac{4,871 \times 10^{12}}{6,674 \times 10^{-11}} \]
\[ M \approx 7,304 \times 10^{22} \, \text{кг} \]
Теперь, чтобы найти среднюю плотность вещества Луны, воспользуемся формулой для плотности:
\[ \rho = \frac{M}{V} \]
где \( V \) — объем Луны. Для шара объем вычисляется по формуле:
\[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]
Подставим радиус Луны:
Вычислим объем: \[ V = \frac{4}{3} \pi (1,73 \times 10^6)^3 \]
\[ V \approx \frac{4}{3} \pi (5,196 \times 10^{18}) \approx 21,692 \times 10^{18} \approx 2,169 \times 10^{19} \, \text{м}^3 \]
Теперь найдем плотность: \[ \rho = \frac{7,304 \times 10^{22}}{2,169 \times 10^{19}} \approx 3,37 \times 10^{3} \, \text{кг/м}^3 \] \[ \rho \approx 3370 \, \text{кг/м}^3 \]
Таким образом, мы определили массу Луны, которая примерно составляет \( 7,3 \times 10^{22} \, \text{кг} \), и её среднюю плотность, равную приблизительно \( 3370 \, \text{кг/м}^3 \).
