При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх шарик массой 100 г поднимается на высоту 2 м. Какова жесткость пружины, если до выстрела пружина была сжата на 5 см?
Для решения этой задачи воспользуемся принципом сохранения энергии. При выстреле из пружинного пистолета потенциальная энергия сжатой пружины преобразуется в потенциальную энергию поднимающегося шарика.
Вычислим потенциальную энергию шарика на высоте 2 м. Она выражается формулой:
\[ E_p = m \cdot g \cdot h, \]
где:
- \(m\) — масса шарика (в килограммах),
- \(g\) — ускорение свободного падения (примерно \(9,81 \, \text{м/с}^2\)),
- \(h\) — высота (в метрах).
Подставим значения:
\[ m = 0,1 \, \text{кг}, \quad g = 9,81 \, \text{м/с}^2, \quad h = 2 \, \text{м}. \]
Тогда
\[ E_p = 0,1 \cdot 9,81 \cdot 2 = 1,962 \, \text{Дж}. \]
Потенциальная энергия сжатой пружины может быть рассчитана по формуле:
\[ E_s = \frac{1}{2} k x^2, \]
где:
- \(k\) — жесткость пружины (в Н/м),
- \(x\) — сжатие пружины (в метрах).
Сжато на 5 см, что равно 0,05 м. Подставляем в формулу:
\[ E_s = \frac{1}{2} k (0,05)^2 = \frac{1}{2} k \cdot 0,0025. \]
Уравняем энергии:
Потенциальная энергия шарика в высоте равна потенциальной энергии сжатой пружины:
\[ E_p = E_s. \]
То есть:
\[ 1,962 = \frac{1}{2} k \cdot 0,0025. \]
Умножим обе стороны уравнения на 2:
\[ 3,924 = k \cdot 0,0025. \]
Теперь выразим \(k\):
\[ k = \frac{3,924}{0,0025} = 1569,6 \, \text{Н/м}. \]
Таким образом, жесткость пружины составляет примерно 1569,6 Н/м.
