Определить массу и среднюю плотность вещества Луны, если ускорение свободного падения на её поверхности 𝑔л = 1,63 м/с 2 ; радиус Луны 𝑅л = 1,73 · 106 м
Для определения массы Луны (𝑀л) и её средней плотности (𝜌л), можно использовать следующие физические формулы.
- Масса Луны можно найти из формулы для ускорения свободного падения:
\[
g = \frac{G \cdot M}{R^2}
\]
где:
- \( g \) — ускорение свободного падения (в данном случае \( gл = 1,63 \, \text{м/с}^2 \)),
- \( G \) — гравитационная постоянная (\( G \approx 6,674 \times 10^{-11} \, \text{Н м}^2/\text{кг}^2 \)),
- \( M \) — масса Луны,
- \( R \) — радиус Луны (в данном случае \( Rл = 1,73 \times 10^{6} \, \text{м} \)).
Перепишем формулу для массы Луны: \[ M = \frac{g \cdot R^2}{G} \]
Теперь подставим известные значения: \[ Mл = \frac{1,63 \, \text{м/с}^2 \cdot (1,73 \times 10^{6} \, \text{м})^2}{6,674 \times 10^{-11} \, \text{Н м}^2/\text{кг}^2} \]
Сначала вычислим \( (1,73 \times 10^{6})^2 \): \[ (1,73 \times 10^{6})^2 \approx 2,9929 \times 10^{12} \, \text{м}^2 \]
Теперь подставим это значение обратно: \[ Mл \approx \frac{1,63 \, \text{м/с}^2 \cdot 2,9929 \times 10^{12} \, \text{м}^2}{6,674 \times 10^{-11}} \] \[ Mл \approx \frac{4,867 \times 10^{12}}{6,674 \times 10^{-11}} \approx 7,297 \times 10^{22} \, \text{кг} \]
- Средняя плотность Луны (𝜌) определяется как: \[ \rho = \frac{M}{V} \] где \( V \) — объём Луны. Объём сферы можно вычислить по формуле: \[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]
Теперь подставим радиус Луны: \[ Vл = \frac{4}{3} \pi (1,73 \times 10^{6})^3 \] \[ Vл \approx \frac{4}{3} \pi (5,196 \times 10^{18}) \approx 6,600 \times 10^{18} \, \text{м}^3 \]
Теперь можем найти среднюю плотность: \[ \rhoл = \frac{Mл}{Vл} \approx \frac{7,297 \times 10^{22} \, \text{кг}}{6,600 \times 10^{18} \, \text{м}^3} \approx 11,063 \, \text{кг/м}^3 \]
Таким образом, масса Луны составляет примерно \( 7,297 \times 10^{22} \, \text{кг} \), а средняя плотность — около \( 11,063 \, \text{кг/м}^3 \).
