Найди площадь криволинейной функций: 1) у=х^2-1, у=0, х=2 2) у=-х^2-4х, у=0, х=-3, х=-1

Чтобы найти площадь, заключенную между криволинейными функциями, нужно выполнить несколько шагов: определить границы интегрирования, определить функции, которые мы будем интегрировать, и затем вычислить интеграл.

1) Площадь между кривой \( y = x^2 - 1 \), осью \( y = 0 \) и линией \( x = 2 \)

Шаг 1: Найдем точки пересечения функции \( y = x^2 - 1 \) с осью \( y = 0 \): \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \]

Так как у нас есть ограничение \( x = 2 \), рассматриваем только область от \( x = -1 \) до \( x = 2 \).

Шаг 2: Воспользуемся интегралом для нахождения площади: \[ \text{Площадь} = \int_{-1}^{2} (x^2 - 1) \, dx \]

Шаг 3: Решим интеграл: \[ \int (x^2 - 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x \] Посчитаем определенный интеграл: \[ \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{-1}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} - 2 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1) \right) \] \[ = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) \] \[ = \left( \frac{8}{3} - \frac{6}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{3}{3} \right) \] \[ = \frac{2}{3} - \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1 \]

Таким образом, площадь, заключенная между кривой и осью, равна 1.

2) Площадь между кривой \( y = -x^2 - 4x \), осью \( y = 0 \) и линиями \( x = -3 \) и \( x = -1 \)

Шаг 1: Найдем точки пересечения функции \( y = -x^2 - 4x \) с осью \( y = 0 \): \[ -x^2 - 4x = 0 \] \[ x(-x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = -4 \]

Область интегрирования будет от \( x = -3 \) до \( x = -1 \).

Шаг 2: Используем интеграл для нахождения площади: \[ \text{Площадь} = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x) \, dx \]

Шаг 3: Найдем интеграл: \[ \int (-x^2 - 4x) \, dx = -\frac{x^3}{3} - 2x^2 \] Теперь посчитаем определенный интеграл: \[ \left[ -\frac{x^3}{3} - 2x^2 \right]_{-3}^{-1} = \left( -\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{3} - 2 \right) - \left( -\frac{-27}{3} - 18 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{3} - 2 \right) - \left( 9 - 18 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{3} - 2 \right) - (-9) \] \[ = \frac{1}{3} - 2 + 9 = \frac{1}{3} + 7 = \frac{22}{3} \]

Таким образом, площадь, заключенная между кривой и осью, равна \( \frac{22}{3} \).

Надеюсь, это помогло вам понять, как находить площади, ограниченные криволинейными функциями! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.