Найди площадь криволинейной трапеции у=х^2-1, у=0, х=2

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, заданной кривой \( y = x^2 - 1 \), осью абсцисс \( y = 0 \) и вертикальными линиями \( x = -1 \) и \( x = 2 \), мы можем использовать интеграл.

1. Определим границы интегрирования. В данном случае это будет от \( x = -1 \) до \( x = 2 \). Мы выбираем границы, основываясь на пересечениях кривой с осью \( y = 0 \): \[ x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = -1 \text{ и } x = 1. \] Поскольку у нас есть границы до \( x = 2 \), это определяет область, которую мы будем интегрировать.

2. Запишем интеграл для площади. Площадь под кривой мы находим по формуле: \[ S = \int_{-1}^{2} (x^2 - 1) \, dx. \]

3. Выполним интегрирование. \[ S = \int (x^2 - 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x + C. \]

4. Подставим границы интегрирования. \[ S = \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{-1}^{2}. \] Теперь подставим границы: \[ S(2) = \frac{2^3}{3} - 2 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3}, \] \[ S(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - (-1) = -\frac{1}{3} + 1 = -\frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{2}{3}. \]

5. Вычтем результаты. \[ S = S(2) - S(-1) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. \]

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной указанными линиями, составляет \(\frac{4}{3}\) квадратных единиц.