найди площадь криволинейных трапеций: 1) у=х^2-1 у=0 х=2 2) у=-х^2-4х у=0 х=-3 х=-1

Чтобы найти площадь криволинейных трапеций, необходимо воспользоваться интегрированием. Рассмотрим оба случая отдельно.

1. Для области, ограниченной кривыми \( y = x^2 - 1 \), \( y = 0 \) и линией \( x = 2 \)

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривой \( y = x^2 - 1 \) и оси \( y = 0 \): \[ x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 \quad \text{и} \quad x = 1. \] Таким образом, парабола пересекает ось абсцисс в точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

Шаг 2: Площадь под кривой от \( x = 1 \) до \( x = 2 \) можно выразить через интеграл: \[ S = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx. \]

Шаг 3: Найдем интеграл: \[ \int (x^2 - 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x. \] Теперь подставим пределы интегрирования: \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{1}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1 \right). \] \[ = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \left( \frac{8}{3} - \frac{6}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{3} \right) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. \] Итак, площадь криволинейной трапеции равна \( \frac{4}{3} \).

2. Для области, ограниченной кривыми \( y = -x^2 - 4x \), \( y = 0 \) и линиями \( x = -3 \) и \( x = -1 \)

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривой и оси \( y = 0 \): \[ -x^2 - 4x = 0 \implies x(-x - 4) = 0 \implies x = 0 \quad \text{или} \quad x = -4. \] Парабола пересекает ось абсцисс в точках \( x = 0 \) и \( x = -4 \).

Шаг 2: Нам нужно найти площадь от \( x = -3 \) до \( x = -1 \): \[ S = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x) \, dx. \]

Шаг 3: Найдем интеграл: \[ \int (-x^2 - 4x) \, dx = -\frac{x^3}{3} - 2x^2. \] Теперь подставим пределы интегрирования: \[ S = \left[-\frac{x^3}{3} - 2x^2 \right]_{-3}^{-1} = \left[-\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2\right] - \left[-\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2\right]. \] \[ = \left[-\left(-\frac{1}{3}\right) - 2\right] - \left[-\left(-\frac{27}{3}\right) - 18\right]. \] \[ = \left[\frac{1}{3} - 2\right] - \left[9 - 18\right] = \left[\frac{1}{3} - 2\right] - (-9). \] \[ = \frac{1}{3} - 2 + 9 = \frac{1}{3} + 7 = \frac{1 + 21}{3} = \frac{22}{3}. \] Итак, площадь криволинейной трапеции равна \( \frac{22}{3} \).

Ответы

1. Площадь первой трапеции: \( \frac{4}{3} \).
2. Площадь второй трапеции: \( \frac{22}{3} \).