Вычислить поэтапно: √(7+4√3) + √(7+4√3)
Чтобы вычислить выражение \( \sqrt{(7+4\sqrt{3})} + \sqrt{(7+4\sqrt{3}) \), давайте начнем поэтапно.
Упростим выражение: так как оба корня одинаковые, можно записать его как \( 2\sqrt{(7 + 4\sqrt{3})} \).
Далее нужно упростить подкоренное выражение \( 7 + 4\sqrt{3} \). Для этого попробуем представить его в виде \( (a + b)^2 \) и найдём такие \( a \) и \( b \), чтобы выполнялось равенство: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Сравнивая это с \( 7 + 4\sqrt{3} \), мы видим, что:
- \( a^2 + b^2 = 7 \)
- \( 2ab = 4\sqrt{3} \)
Из второго уравнения находим \( ab = 2\sqrt{3} \). Теперь у нас есть система уравнений: \[ a^2 + b^2 = 7 \] \[ ab = 2\sqrt{3} \]
Для удобства можно выразить \( a^2 \) и \( b^2 \) через \( s = a + b \) и \( p = ab \). Используем формулу: \[ s^2 = a^2 + b^2 + 2ab \] Подставим: \[ s^2 = 7 + 2 \times 2\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3} \]
Однако более проще было бы непосредственно вычислить корень.
Теперь вычислим \( \sqrt{(7 + 4\sqrt{3})} \). Обозначим это как \( x \) и запишем уравнение: \[ x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \]
Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны в квадрат: \[ x^2 = 7 + 4\sqrt{3} \]
Попробуем найти такие \( a \) и \( b \), чтобы: \[ a^2 + b^2 = 7 \] и \[ ab = 2\sqrt{3} \]
Путем перебора можно попробовать взять \( a = 2 \) и \( b = \sqrt{3} \). Проверим: \[ a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7 \] и \[ ab = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}. \]
Значит, действительно: \[ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}. \]
Подставим это значение в исходное выражение: \[ 2\sqrt{(7 + 4\sqrt{3})} = 2(2 + \sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3}. \]
Таким образом, окончательный результат вычисления: \[ \sqrt{(7 + 4\sqrt{3})} + \sqrt{(7 + 4\sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3}}. \]
