Вычислить поэтапно: √(7+4×√3) + √(7-4×√3)

Чтобы вычислить выражение \( \sqrt{7 + 4 \times \sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4 \times \sqrt{3}} \), давайте сделаем это шаг за шагом.

1. Начнем с каждого из корней по очереди:

   • Для \( \sqrt{7 + 4 \times \sqrt{3}} \): Пусть \( x = \sqrt{7 + 4 \times \sqrt{3}} \). Мы можем попробовать представить это выражение в виде \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \). Предположим, что \( x = \sqrt{a} + \sqrt{b} \). Тогда: \[ x^2 = a + b + 2\sqrt{ab} \] Мы знаем, что \( x^2 = 7 + 4\sqrt{3} \). Таким образом, сравнивая обе стороны, мы получаем два уравнения:
     • \( a + b = 7 \)
     • \( 2\sqrt{ab} = 4\sqrt{3} \) \( \Rightarrow \sqrt{ab} = 2\sqrt{3} \) \( \Rightarrow ab = 12 \)

2. Теперь мы имеем систему уравнений: \[ a + b = 7 \] \[ ab = 12 \]

   Это уравнение можно решить, подставив \( b = 7 - a \): \[ a(7 - a) = 12 \] \[ 7a - a^2 = 12 \Rightarrow a^2 - 7a + 12 = 0 \]

   Решим это квадратное уравнение: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \times 1 \times 12 = 49 - 48 = 1 \] Значит, корни: \[ a_{1, 2} = \frac{7 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2} \] \[ a_1 = 4, \quad a_2 = 3 \]

   Следовательно, \( a = 4 \) и \( b = 3 \) (или наоборот).

3. Таким образом, мы имеем: \[ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3} \]

4. Теперь найдем \( \sqrt{7 - 4 \times \sqrt{3}} \): Следуя тому же методу, пусть \( y = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} \): Тогда у нас будет такая же система, с изменением на \( -4\sqrt{3} \). По аналогии: \[ a + b = 7, \] \[ ab = 12 \quad \text{(всё остается тем же, поэтому мы предполагаем те же значения)} \]

   В этом случае мы получим: \[ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} \]

5. Сложим оба корня: \[ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 4 \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 4 \]