-2x^2+10x-8<0

Чтобы решить неравенство \(-2x^2 + 10x - 8 < 0\), давайте сначала преобразуем его. Мы можем разделить неравенство на \(-2\) для упрощения, но помните, что при делении на отрицательное число знак неравенства изменится. Таким образом, неравенство становится:

\[ x^2 - 5x + 4 > 0. \]

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение \(x^2 - 5x + 4 = 0\) для нахождения его корней. Для этого используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9. \]

Корни находятся по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2}. \]

Таким образом, получаем два корня:

1. \( x_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \),
2. \( x_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \).

Теперь у нас есть два корня \(x = 1\) и \(x = 4\). Эти корни позволяют нам разбить числовую прямую на три интервала:

1. \((- \infty, 1)\),
2. \((1, 4)\),
3. \((4, +\infty)\).

Теперь необходимо протестировать знак выражения \(x^2 - 5x + 4\) в каждом из этих интервалов:

• В интервале \((- \infty, 1)\), например, подставим \(x = 0\): \(0^2 - 5 \cdot 0 + 4 = 4 > 0\).
• В интервале \((1, 4)\), например, подставим \(x = 2\): \(2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 4 - 10 + 4 = -2 < 0\).
• В интервале \((4, +\infty)\), например, подставим \(x = 5\): \(5^2 - 5 \cdot 5 + 4 = 25 - 25 + 4 = 4 > 0\).

Таким образом, мы видим, что выражение \(x^2 - 5x + 4 > 0\ только на интервалах \((- \infty, 1)\) и \((4, +\infty)\).

Ответ: решение неравенства \(-2x^2 + 10x - 8 < 0\) — это интервал \(x \in (1, 4)\).