Найдите минимальную точку функции y=x^3/2-3x+1

Чтобы найти минимальную точку функции \( y = x^{3/2} - 3x + 1 \), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции: Для начала найдём первую производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^{3/2}) - \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(1) \] Применяя правило дифференцирования, получаем: \[ y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - 3 \]

2. Найдем критические точки: Критические точки находятся там, где производная равна нулю: \[ \frac{3}{2}x^{1/2} - 3 = 0 \] Решим это уравнение: \[ \frac{3}{2}x^{1/2} = 3 \] Умножим обе стороны на \( \frac{2}{3} \): \[ x^{1/2} = 2 \] Возведем в квадрат: \[ x = 4 \]

3. Определим знак производной: Чтобы понять, является ли найденная точка минимумом или максимумом, смотрим на знак производной вокруг \( x = 4 \).

   • Для \( x < 4 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y'(0) = \frac{3}{2}(0)^{1/2} - 3 = -3 < 0 \]
   • Для \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \[ y'(5) = \frac{3}{2}(5)^{1/2} - 3 \approx \frac{3}{2}(2.24) - 3 \approx 3.36 - 3 = 0.36 > 0 \]

   Таким образом, производная меняет знак из отрицательного в положительный, что указывает на то, что в точке \( x = 4 \) находится минимальная точка.

4. Найдем значение функции в минимальной точке: Теперь подставим \( x = 4 \) в исходную функцию: \[ y(4) = (4)^{3/2} - 3(4) + 1 = 8 - 12 + 1 = -3 \]

Таким образом, минимальная точка функции \( y = x^{3/2} - 3x + 1 \) находится в точке \( (4, -3) \).