195. Опыт состоит в днукратном бросаний симметричной игральной кости. Найдите и запините и таблицу значения и пероятности случайных величин б) Y наименынсе ит пыпивних очкоn; n) S сумма набранных очков; г) Т разность вынанних очков (результит периого броски минус ретультит второго броска); д) М произиедение чисел вынниних очков,
Чтобы решить задачу, давайте проведем анализ всех требуемых случайных величин при бросании симметричной игральной кости.
1. Обозначение:
- Обозначим результат первого броска как \( X_1 \), а результат второго броска как \( X_2 \).
- Игральная кость имеет 6 граней, поэтому возможные результаты броска: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. Случайные величины:
а) \( Y \) - количество набранных очков (1 бросок): Это просто значение, которое мы получаем при каждом броске, и оно может принимать значения от 1 до 6.
б) \( S = X_1 + X_2 \) - сумма набранных очков: Сумма двух бросков может принимать значения от \( 2 \) (1 + 1) до \( 12 \) (6 + 6). Для вычисления вероятностей суммы можно построить таблицу:
| Сумма \( S \) | Число способов \( (X_1, X_2) \) | Вероятность \( P(S) \) |
|---|---|---|
| 2 | 1 | \( \frac{1}{36} \) |
| 3 | 2 | \( \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) |
| 4 | 3 | \( \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \) |
| 5 | 4 | \( \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \) |
| 6 | 5 | \( \frac{5}{36} \) |
| 7 | 6 | \( \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \) |
| 8 | 5 | \( \frac{5}{36} \) |
| 9 | 4 | \( \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \) |
| 10 | 3 | \( \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \) |
| 11 | 2 | \( \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) |
| 12 | 1 | \( \frac{1}{36} \) |
3. Разность \( T = X_1 - X_2 \):
Разность двух бросков может принимать значения от \( -5 \) (1 - 6) до \( 5 \) (6 - 1). Анализируем вероятности:
| Разность \( T \) | Число способов \( (X_1, X_2) \) | Вероятность \( P(T) \) |
|---|---|---|
| -5 | 1 | \( \frac{1}{36} \) |
| -4 | 2 | \( \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) |
| -3 | 3 | \( \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \) |
| -2 | 4 | \( \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \) |
| -1 | 5 | \( \frac{5}{36} \) |
| 0 | 6 | \( \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \) |
| 1 | 5 | \( \frac{5}{36} \) |
| 2 | 4 | \( \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \) |
| 3 | 3 | \( \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \) |
| 4 | 2 | \( \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) |
| 5 | 1 | \( \frac{1}{36} \) |
4. Произведение \( M = X_1 \cdot X_2 \):
Произведение двух бросков может принимать значения от \( 1 \) (1 * 1) до \( 36 \) (6 * 6). Вероятности чисел произведений тоже следует рассчитывать:
| Произведение \( M \) | Число способов \( (X_1, X_2) \) | Вероятность \( P(M) \) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | \( \frac{1}{36} \) |
| 2 | 2 | \( \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) |
| 3 | 2 | \( \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) |
| 4 | 3 | \( \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \) |
| 5 | 2 | \( \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) |
| 6 | 4 | \( \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \) |
| 7 | 2 | \( \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) |
| 8 | 4 | \( \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \) |
| 9 | 2 | \( \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) |
| 10 | 2 | \( \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) |
| 12 | 4 | \( \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \) |
| 15 | 2 | \( \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) |
| 18 | 2 | \( \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) |
| 20 | 2 | \( \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) |
| 24 | 3 | \( \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \) |
| 30 | 2 | \( \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) |
| 36 | 1 | \( \frac{1}{36} \) |
Таким образом, мы получили распределения вероятностей для трех различных случайных величин при бросании симметричной игральной кости. Надеюсь, это поможет вам в подготовке к экзамену! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
