25x²+6x<=0
Чтобы решить неравенство \( 25x^2 + 6x \leq 0 \), нам нужно сначала привести его к стандартному виду. Мы можем вынести \( x \) за скобки:
\[ x(25x + 6) \leq 0 \]
Теперь мы имеем произведение двух множителей: \( x \) и \( (25x + 6) \). Чтобы понять, когда это произведение меньше или равно нулю, нам следует найти корни каждого множителя.
Найдем, когда \( x = 0 \).
Теперь решим уравнение \( 25x + 6 = 0 \): \[ 25x + 6 = 0 \\ 25x = -6 \\ x = -\frac{6}{25} \]
Таким образом, у нас есть два корня: \( x = 0 \) и \( x = -\frac{6}{25} \).
Теперь построим числовую прямую и выделим интервалы, которые необходимо проверить:
- (-∞, -6/25)
- (-6/25, 0)
- (0, +∞)
Теперь проверим знак произведения \( x(25x + 6) \) на каждом из этих интервалов:
Для интервала (-∞, -6/25): Пусть \( x = -1 \) (например) \[ -1(25(-1) + 6) = -1(-25 + 6) = -1(-19) = 19 > 0 \]
Для интервала (-6/25, 0): Пусть \( x = -0.1 \) (например) \[ -0.1(25(-0.1) + 6) = -0.1(-2.5 + 6) = -0.1(3.5) < 0 \]
Для интервала (0, +∞): Пусть \( x = 1 \) \[ 1(25(1) + 6) = 1(25 + 6) = 31 > 0 \]
Теперь обобщим полученные результаты:
- На интервале (-∞, -6/25) значение больше 0.
- На интервале (-6/25, 0) значение меньше 0.
- На интервале (0, +∞) значение больше 0.
Поскольку мы ищем, когда неравенство выполняется, нам интересен интервал, где произведение меньше или равно нулю. Это происходит в интервале \( x \in [-\frac{6}{25}, 0] \).
Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in \left[-\frac{6}{25}, 0\right] \]
