Считая, что Марс движется вокруг Солнца по окружности, найди радиус этой окружности и центростремительное ускорение, если известно, что масса Солнца равна 1 989 1 0 30 кг 1,989⋅10 30 кг, а скорость обращения Марса — 24 , 13 км / с 24,13 км/с. Радиус округли до целых, ускорение — до тысячных.
Для решения задачи можно использовать закон всемирного тяготения и формулу для центростремительного ускорения.
- Найдем радиус орбиты (r) Марса. Согласно законам движения планет, сила притяжения между Солнцем и Марсом равна центростремительной силе, действующей на Марс. Таким образом, у нас есть:
\[ F = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} = m \cdot a_c \]
где:
- \( F \) — сила притяжения,
- \( G \) — гравитационная постоянная (\( 6,674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2 \)),
- \( M \) — масса Солнца (\( 1,989 \times 10^{30} \, \text{кг} \)),
- \( m \) — масса Марса (она не понадобится, поскольку она сократится),
- \( r \) — радиус орбиты,
- \( a_c = \frac{v^2}{r} \) — центростремительное ускорение,
- \( v \) — скорость обращения Марса (\( 24,13 \, \text{км/с} = 24130 \text{ м/с} \)).
Уравнение принимает вид:
\[ \frac{G \cdot M}{r^2} = \frac{v^2}{r} \]
Перепишем его:
\[ G \cdot M = v^2 \cdot r \]
Теперь выразим радиус \( r \):
\[ r = \frac{G \cdot M}{v^2} \]
Подставим известные значения:
\[ r = \frac{(6,674 \times 10^{-11}) \cdot (1,989 \times 10^{30})}{(24130)^2} \]
Посчитаем:
Сначала найдем \( (24130)^2 \): \[ 24130^2 = 581,656,890. \]
Затем вычислим \( G \cdot M \): \[ (6,674 \times 10^{-11}) \cdot (1,989 \times 10^{30}) \approx 1.327 \times 10^{20} \, \text{м}^3/\text{с}^2. \]
Теперь подставим эти значения в формулу для радиуса:
\[ r \approx \frac{1.327 \times 10^{20}}{581656890} \approx 228,816 \, \text{м} \approx 228816 \, \text{м}. \]
Округляя до целых, получаем:
\[ r \approx 228816 \text{ м} \approx 228816 \text{ км (в миллионах)}. \]
Теперь сосчитаем центростремительное ускорение \( a_c \):
\[ a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(24130)^2}{228816 \times 10^3} = \frac{581656890}{228816 \times 10^3}. \]
Рассчитаем:
\[ a_c \approx \frac{581656890}{228816000} \approx 2.542. \]
Округляя до тысячных, получаем:
\[ a_c \approx 2.542 \, \text{м/с}^2. \]
Таким образом, радиус орбиты Марса составляет примерно 228816 км (округлено до целых), а центростремительное ускорение — 2.542 м/с² (округлено до тысячных).
