периметры прямоугольной трапеции описанной около окружности равен 32 её большая боковая сторона равна девяти найдите радиус окружности

Для решения задачи о периметре прямоугольной трапеции, описанной около окружности, давайте вспомним некоторые свойства этой фигуры.

Для прямоугольной трапеции, описанной около окружности, выполняется следующее свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Обозначим:

• большая боковая сторона \(AB = 9\)
• меньшую боковую сторону \(AD = x\)
• верхнее основание \(CD = a\)
• нижнее основание \(BC = b\)

Согласно свойству, имеем: \[ a + b = AB + AD \] \[ a + b = 9 + x \]

Периметр трапеции равен: \[ P = AB + AD + a + b = 9 + x + a + b \]

Из условия задачи, периметр равен \(32\): \[ 9 + x + a + b = 32 \]

Теперь из условия (1) мы можем подставить \(a + b = 9 + x\): \[ 9 + x + (9 + x) = 32 \] \[ 18 + 2x = 32 \] \[ 2x = 14 \] \[ x = 7 \]

Теперь мы знаем, что меньшая боковая сторона \(AD = 7\).

Теперь найдем радиус окружности, описанной около трапеции. В прямоугольной трапеции радиус окружности \(R\) можно найти по формуле: \[ R = \frac{S}{p} \] где \(S\) — площадь трапеции, а \(p\) — полупериметр.

Сначала найдем полупериметр \(p\): \[ p = \frac{32}{2} = 16 \]

Теперь нам нужна площадь \(S\). Площадь прямоугольной трапеции можно найти по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] где \(h\) — высота трапеции.

В нашем случае, так как это прямоугольная трапеция, высота равна длине меньшей боковой стороны, т.е. \(h = AD = 7\).

Мы знаем, что \(a + b = 16\), но чтобы найти \(a\) и \(b\) конкретно, использовав равенство оснований и боковых сторон: Пусть \(a = 0\) и \(b = 16\) (или наоборот).

Тогда: \[ S = \frac{(0 + 16) \cdot 7}{2} = \frac{16 \cdot 7}{2} = 56 \]

Теперь можем найти радиус: \[ R = \frac{S}{p} = \frac{56}{16} = 3.5 \]

Таким образом, радиус окружности равен \(3.5\).