В урне содержится К черных и Н белых шаров, Случайным образом вынимают М шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется: а) Р белых шаров; 6) меньше, чем Р белых шаров г)хотя бы один белый шар K=7,H=4,M=5,P=3

Для решения этой задачи мы используем комбинаторику и теорию вероятностей. В вашем случае у нас есть 7 черных шаров (K) и 4 белых шара (H), и мы случайно извлекаем 5 шаров (M).

а) Вероятность того, что среди них имеется P белых шаров (где P = 3)

1. Общее количество способов выбрать 5 шаров из 11 (K + H): \[ C(11, 5) \]

2. Количество способов выбрать 3 белых шара из 4: \[ C(4, 3) \]

3. Количество способов выбрать 2 черных шара из 7: \[ C(7, 2) \]

4. Общая вероятность: Теперь мы можем объединить это для нахождения полной вероятности: \[ P(3 \text{ белых}) = \frac{C(4,3) \cdot C(7,2)}{C(11,5)} \]

Теперь давайте посчитаем:

• \( C(11, 5) = \frac{11!}{5!(11-5)!} = 462 \)
• \( C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4 \)
• \( C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = 21 \)

Подставляем в формулу: \[ P(3 \text{ белых}) = \frac{4 \cdot 21}{462} = \frac{84}{462} = \frac{2}{11} \approx 0.1818 \]

б) Вероятность того, что белых шаров меньше чем P (то есть 0, 1 или 2)

Мы должны рассчитать вероятность для случаев, когда 0, 1 или 2 белых шара среди выбранных 5.

1. Вероятность 0 белых шаров:

• Способы выбрать 0 белых шаров из 4: \( C(4,0) = 1 \)
• Способы выбрать 5 черных шаров из 7: \( C(7,5) = 21 \)

\[ P(0 \text{ белых}) = \frac{C(4,0) \cdot C(7,5)}{C(11,5)} = \frac{1 \cdot 21}{462} = \frac{21}{462} = \frac{1}{22} \]

2. Вероятность 1 белого шара:

• Способы выбрать 1 белый шар из 4: \( C(4,1) = 4 \)
• Способы выбрать 4 черных шара из 7: \( C(7,4) = 35 \)

\[ P(1 \text{ белый}) = \frac{C(4,1) \cdot C(7,4)}{C(11,5)} = \frac{4 \cdot 35}{462} = \frac{140}{462} = \frac{70}{231} \approx 0.3030 \]

3. Вероятность 2 белых шара:

• Способы выбрать 2 белых шара из 4: \( C(4,2) = 6 \)
• Способы выбрать 3 черных шара из 7: \( C(7,3) = 35 \)

\[ P(2 \text{ белых}) = \frac{C(4,2) \cdot C(7,3)}{C(11,5)} = \frac{6 \cdot 35}{462} = \frac{210}{462} = \frac{35}{77} \approx 0.4545 \]

Суммируем вероятности:

\[ P(\text{меньше 3 белых}) = P(0 \text{ белых}) + P(1 \text{ белый}) + P(2 \text{ белых}) = \frac{1}{22} + \frac{70}{231} + \frac{35}{77} \] Исходя из общей формулы, можем получить: \[ P(\text{меньше 3 белых}) \approx 0.1818 + 0.3030 + 0.4545 \approx 0.9393 \]

в) Вероятность того, что хотя бы один белый шар

Чтобы найти вероятность того, что хотя бы один белый шар, можно воспользоваться принципом дополнительной вероятности. \[ P(\text{хоть один белый}) = 1 - P(0 \text{ белых}) \] Где: \[ P(0 \text{ белых}) = \frac{1}{22} \]

Таким образом: \[ P(\text{хоть один белый}) = 1 - \frac{1}{22} = \frac{21}{22} \approx 0.9545 \]

В итоге, мы получили:

• Вероятность 3 белых шаров: \( \frac{2}{11} \)
• Вероятность меньше 3 белых шаров: приблизительно \( 0.9393 \)
• Вероятность хотя бы 1 белого шара: приблизительно \( 0.9545 \)

Надеюсь, этот разбор был полезен! Если у вас есть другие вопросы, не стесняйтесь спрашивать.