Давайте разберёмся с синтаксическими функциями инфинитивов в каждом из предложений.
Он мог быть учителем.
- Инфинитив "быть" выполняет функцию составного сказуемого, указывая на возможное состояние субъекта (он).
Я пришёл проститься с вами.
- Инфинитив "проститься" здесь выполняет функцию обстоятельства цели. Он отвечает на вопрос "зачем?" (зачем пришёл? — проститься).
Мне льстит ваше желание понравиться.
- Инфинитив "понравиться" в данном предложении выполняет функцию дополнения. Он уточняет, что именно льстит (желание чего? — понравиться).
Начинало смеркаться.
- Инфинитив "смеркаться" выполняет функцию сказуемого. Он описывает, что происходило (начинало что? — смеркаться).
Отец приказал им уйти.
- Инфинитив "уйти" здесь выполняет функцию прямого дополнения. Он отвечает на вопрос, что приказал отец? (уйти).
Не догнать тебе его!
- Инфинитив "догнать" выполняет функцию сказуемого, указывая на невозможность действия (не догнать что? — его).
Учиться — вот твоя задача.
- Инфинитив "учиться" здесь выступает в роли подлежащего. Он обозначает предмет (что? — учиться), о котором говорится в предложении.
Надеюсь, это помогло вам понять синтаксические функции инфинитивов в данных предложениях! Если есть дополнительные вопросы, смело задавайте.