Концентрация молекул разрежённого газа увеличилась в 5 раз, а давление газа уменьшилось в 7,2 раза. Во сколько раз увеличилась среднеквадратическая скорость теплового поступательного движения молекул газа? Запиши в поле ответа верное число. В (пропуск) раз(а)
Для решения этой задачи мы можем воспользоваться уравнением состояния идеального газа и формулой для средней квадратной скорости молекул.
Согласно уравнению состояния идеального газа: \[ PV = nRT \] где:
- \(P\) — давление,
- \(V\) — объем,
- \(n\) — количество молей,
- \(R\) — универсальная газовая постоянная,
- \(T\) — температура.
Среднеквадратическая скорость молекул газа определяется как: \[ v_{ср.кв.} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \] где:
- \(k\) — постоянная Больцмана,
- \(T\) — температура,
- \(m\) — масса одной молекулы.
Температура газа напрямую связана с давлением и концентрацией молекул. Если концентрация молекул увеличилась в 5 раз, а давление уменьшилось в 7.2 раза, то мы можем написать: \[ \frac{n}{V} = \frac{n'}{V'} = 5 \cdot \frac{n_0}{V_0} \] и \[ P' = \frac{P_0}{7.2} \]
Также, в уравнении состояния, если мы предполагаем, что объем остается постоянным, то: \[ P \propto n \cdot T \] Это означает, что изменение давления и концентрации молекул связано с изменением температуры. Выразим температуру: \[ T' = \frac{P \cdot V}{n \cdot R} \]
Теперь, поскольку P уменьшается, а n увеличивается, можем сказать, что температура изменится. Но чтобы рассчитать непосредственно среднеквадратическую скорость, нам нужно их соотношение.
Так как среднеквадратическая скорость пропорциональна квадратному корню от температуры, то: \[ \frac{v'_{ср.кв.}}{v_{ср.кв.}} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = \sqrt{\frac{P' \cdot V/n'}{P \cdot V/n}} = \sqrt{\frac{P'}{P} \cdot \frac{n}{n'}} \] Подставим известные значения: \[ = \sqrt{\frac{\frac{P_0}{7.2}}{P_0} \cdot \frac{n_0}{5 \cdot n_0}} = \sqrt{\frac{1}{7.2} \cdot \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{1}{36}} \]
Таким образом, среднеквадратическая скорость увеличилась в: \[ \sqrt{36} = 6 \]
Ответ: в 6 раз.
