Пользуясь геометрическим смыслом и определением линейной зависимости Определите компланарны ли векторы m = a + 2b - 3, N = -2а + b + c p = a - 3b+ 2c если A, B, C не компланарны.

Чтобы определить, компланарны ли векторы \( \mathbf{m} \), \( \mathbf{N} \) и \( \mathbf{p} \), воспользуемся понятием линейной зависимости.

Векторы компланарны, если существует ненулевое решение для их линейной комбинации, равной нулевому вектору:

\[ k_1 \mathbf{m} + k_2 \mathbf{N} + k_3 \mathbf{p} = \mathbf{0} \]

где \( k_1, k_2, k_3 \) – коэффициенты, которые могут принимать любые значения.

В данном случае векторы заданы следующим образом:

\[ \mathbf{m} = \mathbf{a} + 2\mathbf{b} - 3\mathbf{1}, \quad \mathbf{N} = -2\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}, \quad \mathbf{p} = \mathbf{a} - 3\mathbf{b} + 2\mathbf{c} \]

Для проверки компланарности можно воспользоваться детерминантом. Векторы компланарны, если определитель матрицы, составленной из векторов, равен нулю. Составим матрицу и вычислим её:

\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \]

Теперь вычислим этот определитель:

\[ D = 1 \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot (-3)) - 2 \cdot (-2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 3 \cdot (-2 \cdot -3 - 1 \cdot 1) \]

\[ = 1 \cdot (2 + 3) - 2 \cdot (-4 - 1) - 3 \cdot (6 - 1) \] \[ = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 5 - 3 \cdot 5 \] \[ = 5 + 10 - 15 \] \[ = 0 \]

Поскольку определитель равен 0, это указывает на то, что векторы \( \mathbf{m} \), \( \mathbf{N} \) и \( \mathbf{p} \) являются компланарными.

Таким образом, ответ на задачу: векторы \( \mathbf{m} \), \( \mathbf{N} \) и \( \mathbf{p} \) компланарны.