Найди f ′ ( 2 ) f ′ (2) , если f ( x ) = 2 ln ( 6 x 2 − 2 x ) − ln ( 2 x 2 − 2 x ) − log 7 ( 2 x − 3 ) f(x)=2ln(6x 2 −2x)−ln(2x 2 −2x)−log 7 (2x−3) ?
Давайте найдем производную функции \( f(x) \) и затем вычислим \( f'(2) \).
Функция задана как:
\[ f(x) = 2\ln(6x^2 - 2x) - \ln(2x^2 - 2x) - \log_7(2x - 3) \]
Шаг 1: Найдем производную функции \( f(x) \)
Сначала мы найдем производные каждого термина.
Производная первого члена: \( 2\ln(6x^2 - 2x) \)
Используем правило производной логарифма:
\(\frac{d}{dx}\ln(u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}\).Здесь \( u = 6x^2 - 2x \), тогда:
\[ \frac{du}{dx} = 12x - 2 \]
Следовательно, производная первого члена:
\[ \frac{d}{dx}(2\ln(6x^2 - 2x)) = 2 \cdot \frac{1}{6x^2 - 2x} \cdot (12x - 2) = \frac{2(12x - 2)}{6x^2 - 2x} \]
Производная второго члена: \( -\ln(2x^2 - 2x) \)
Здесь \( u = 2x^2 - 2x \), тогда:
\[ \frac{du}{dx} = 4x - 2 \]
Производная второго члена:
\[ \frac{d}{dx}(-\ln(2x^2 - 2x)) = -\frac{1}{2x^2 - 2x} \cdot (4x - 2) = -\frac{4x - 2}{2x^2 - 2x} \]
Производная третьего члена: \( -\log_7(2x - 3) \)
Применим правило для логарифма с основанием 7:
\[ \frac{d}{dx}(-\log_7(2x - 3)) = -\frac{1}{\ln(7)} \cdot \frac{1}{2x - 3} \cdot 2 = -\frac{2}{\ln(7)(2x - 3)} \]
Объединим результаты
Итак, производная функции \( f'(x) \) будет равна:
\[ f'(x) = \frac{2(12x - 2)}{6x^2 - 2x} - \frac{4x - 2}{2x^2 - 2x} - \frac{2}{\ln(7)(2x - 3)} \]
Шаг 2: Найдем \( f'(2) \)
Теперь подставим \( x = 2 \) в полученное выражение.
Вычислим числители и знаменатели для каждого из членов:
Для первого члена: \[ f'(2) = \frac{2(12 \cdot 2 - 2)}{6 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2} = \frac{2(24 - 2)}{24 - 4} = \frac{2 \cdot 22}{20} = \frac{44}{20} = 2.2 \]
Для второго члена: \[ -\frac{4 \cdot 2 - 2}{2 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2} = -\frac{8 - 2}{8 - 4} = -\frac{6}{4} = -1.5 \]
Для третьего члена: \[ -\frac{2}{\ln(7)(2 \cdot 2 - 3)} = -\frac{2}{\ln(7)(4 - 3)} = -\frac{2}{\ln(7)} \]
Объединим результаты:
Теперь у нас есть:
\[ f'(2) = 2.2 - 1.5 - \frac{2}{\ln(7)} \]
Посчитаем это значение:
\[ f'(2) = 0.7 - \frac{2}{\ln(7)} \]
Это выражение дает нам значение производной функции \( f \) в точке \( x = 2 \). Не забывайте, что вы можете подставить значение \(\ln(7)\) для окончательного расчета, если это необходимо.
Если у вас есть какие-либо вопросы или требуется дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!
