Найди значение функции f ( x ) = x 3 − 3 x + 8 f(x)=x 3 −3x+8 в точке минимума. Запиши в поле ответа верное целое число или десятичную дробь.
Чтобы найти значение функции \( f(x) = x^3 - 3x + 8 \) в точке минимума, сначала нужно определить, где этой функции достигается минимум.
Находим производную функции: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]
Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
Определяем, является ли критическая точка минимумом или максимумом. Для этого можно использовать вторую производную: \[ f''(x) = 6x \]
Подставим критические точки:
Для \( x = 1 \): \[ f''(1) = 6 \cdot 1 = 6 > 0 \quad \text{(минимум)} \]
Для \( x = -1 \): \[ f''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0 \quad \text{(максимум)} \]
Таким образом, точка минимума находится в \( x = 1 \).
- Теперь найдем значение функции в этой точке: \[ f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 8 = 1 - 3 + 8 = 6 \]
Таким образом, значение функции \( f(x) \) в точке минимума составляет \( 6 \).
