Найди значение функции f ( x ) = x 3 − 3 x + 3 f(x)=x 3 −3x+3 в точке максимума. Запиши в поле ответа верное число.

Чтобы найти значение функции \( f(x) = x^3 - 3x + 3 \) в точке максимума, сначала необходимо определить, где функция достигает максимума.

1. Находим первую производную функции: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]

2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \] Таким образом, критические точки: \[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1 \]

3. Теперь находим вторую производную, чтобы определить, является ли критическая точка максимумом или минимумом: \[ f''(x) = 6x \]

4. Проверяем значения второй производной в критических точках:

• Для \( x = 1 \): \[ f''(1) = 6 \cdot 1 = 6 \quad (\text{положительная, минимум}) \]
• Для \( x = -1 \): \[ f''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 \quad (\text{отрицательная, максимум}) \]

Таким образом, максимум функции \( f(x) \) достигается в точке \( x = -1 \).

5. Теперь подставим \( x = -1 \) в функцию, чтобы найти значение функции в точке максимума: \[ f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) + 3 = -1 + 3 + 3 = 5 \]

Итак, значение функции \( f(x) \) в точке максимума равно \( 5 \).

Запишите: 5.