Найти разложение вектора а ={1; 2} по векторам p ={11; 0} и q ={–2; –2}.
Для нахождения разложения вектора \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) по векторам \(\mathbf{p} = \begin{pmatrix} 11 \\ 0 \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{q} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}\) нужно найти такие скаляры \(k_1\) и \(k_2\), что:
\[ \mathbf{a} = k_1 \mathbf{p} + k_2 \mathbf{q} \]
Это уравнение можно записать в виде:
\[ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = k_1 \begin{pmatrix} 11 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Распишем это уравнение по компонентам:
Для первой компоненты: \[ 1 = 11k_1 - 2k_2 \]
Для второй компоненты: \[ 2 = -2k_2 \]
Из второго уравнения можно выразить \(k_2\): \[ k_2 = -1 \]
Теперь подставим \(k_2\) в первое уравнение: \[ 1 = 11k_1 - 2(-1) \] \[ 1 = 11k_1 + 2 \] \[ 11k_1 = 1 - 2 \] \[ 11k_1 = -1 \] \[ k_1 = -\frac{1}{11} \]
Теперь у нас есть значения \(k_1\) и \(k_2\): \[ k_1 = -\frac{1}{11}, \quad k_2 = -1 \]
Таким образом, разложение вектора \(\mathbf{a}\) по векторам \(\mathbf{p}\) и \(\mathbf{q}\) выглядит следующим образом:
\[ \mathbf{a} = -\frac{1}{11} \mathbf{p} - 1 \mathbf{q} \]
Это означает, что вектор \(\mathbf{a}\) может быть представлен как линейная комбинация векторов \(\mathbf{p}\) и \(\mathbf{q}\) с коэффициентами \(-\frac{1}{11}\) и \(-1\) соответственно. Если у вас возникнут дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!
