Решите уравнение, выполнив подходящую замену переменной. x^6 + 9x^3 + 8 = 0
Чтобы решить уравнение \(x^6 + 9x^3 + 8 = 0\), можно использовать замену переменной.
Давайте введем новую переменную: пусть \(y = x^3\). Тогда \(x^6\) можно выразить как \(y^2\). Подставляя это в уравнение, получаем:
\[ y^2 + 9y + 8 = 0 \]
Теперь это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) определяется следующим образом:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a = 1\), \(b = 9\), \(c = 8\):
\[ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 \]
Дискриминант положителен, следовательно, уравнение имеет два разных корня, которые можно найти с помощью формулы корней:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ y_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 \pm 7}{2} \]
Теперь решаем для \(y_1\) и \(y_2\):
- \(y_1 = \frac{-9 + 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
- \(y_2 = \frac{-9 - 7}{2} = \frac{-16}{2} = -8\)
Теперь вернемся к переменной \(x\). Помним, что \(y = x^3\). Таким образом, у нас есть:
- \(x^3 = -1\)
- \(x^3 = -8\)
Решая оба уравнения, получаем:
- \(x^3 = -1 \implies x = -1\)
- \(x^3 = -8 \implies x = -2\)
Итак, мы нашли решения исходного уравнения:
\[ x = -1 \quad \text{и} \quad x = -2 \]
Таким образом, окончательный ответ: \(x = -1\) и \(x = -2\).
