2x(3x-1) >4x²+15+9
Давайте решим неравенство \(2x(3x-1) > 4x^2 + 15 + 9\).
Сначала упростим обе стороны.
Слева мы можем раскрыть скобки: \[ 2x(3x - 1) = 6x^2 - 2x. \]
Справа: \[ 4x^2 + 15 + 9 = 4x^2 + 24. \]
Теперь получаем неравенство: \[ 6x^2 - 2x > 4x^2 + 24. \]
Переносим все на одну сторону, приводя к стандартному виду: \[ 6x^2 - 4x^2 - 2x - 24 > 0. \] Это упрощается до: \[ 2x^2 - 2x - 24 > 0. \]
Теперь упростим его, dividendo всё на 2: \[ x^2 - x - 12 > 0. \]
Теперь необходимо найти корни уравнения \(x^2 - x - 12 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49. \]
Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4, \] \[ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = -3. \]
Теперь у нас есть корни \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -3\). Теперь нужно определить интервалы, которые удовлетворяют неравенству \(x^2 - x - 12 > 0\). Мы проверяем знаки в интервалах: \((-\infty, -3)\), \((-3, 4)\) и \((4, \infty)\).
Для \(x < -3\) возьмем, к примеру, \(x = -4\): \[ (-4)^2 - (-4) - 12 = 16 + 4 - 12 = 8 > 0. \] Это удовлетворяет неравенству.
Для \(-3 < x < 4\) возьмем, например, \(x = 0\): \[ 0^2 - 0 - 12 = -12 < 0. \] Это не удовлетворяет неравенству.
Для \(x > 4\) возьмем, к примеру, \(x = 5\): \[ 5^2 - 5 - 12 = 25 - 5 - 12 = 8 > 0. \] Это удовлетворяет неравенству.
Таким образом, решения неравенства: \[ x \in (-\infty, -3) \cup (4, +\infty). \]
Надеюсь, это поможет вам разобраться с решением неравенства! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать.
