найди y' а потом y''' x = (2t + 3) * cos(t)
Чтобы найти производные \( y' \) и \( y'' \) функции \( y = (2t + 3) \cdot \cos(t) \), начнем с нахождения первой производной \( y' \).
Для этого применим правило произведения. Если у нас есть две функции \( u(t) = 2t + 3 \) и \( v(t) = \cos(t) \), то производная их произведения \( y = u(t) \cdot v(t) \) вычисляется по формуле:
\[ y' = u' \cdot v + u \cdot v' \]
Найдём производные \( u' \) и \( v' \):
- \( u' = \frac{d}{dt}(2t + 3) = 2 \)
- \( v' = \frac{d}{dt}(\cos(t)) = -\sin(t) \)
Теперь подставим эти значения в формулу:
\[ y' = (2) \cdot \cos(t) + (2t + 3) \cdot (-\sin(t)) \]
То есть:
\[ y' = 2 \cos(t) - (2t + 3) \sin(t) \]
Теперь находим вторую производную \( y'' \). Для этого снова используем правило произведения и правило суммы.
Вторая производная:
\[ y'' = \frac{d}{dt}(y') = \frac{d}{dt}(2 \cos(t) - (2t + 3) \sin(t)) \]
Посчитаем каждую часть по отдельности:
Для \( 2 \cos(t) \): \[ \frac{d}{dt}(2 \cos(t)) = -2 \sin(t) \]
Для \( -(2t + 3) \sin(t) \) также используем правило произведения: \[ \frac{d}{dt}(-(2t + 3) \sin(t)) = -(2) \sin(t) - (2t + 3) \cos(t) \]
Соберём всё вместе:
\[ y'' = -2 \sin(t) - (2 \sin(t) + (2t + 3) \cos(t)) \]
Таким образом, итоговая формула для второй производной:
\[ y'' = -4 \sin(t) - (2t + 3) \cos(t) \]
В заключение, мы нашли первую и вторую производные:
\[ y' = 2 \cos(t) - (2t + 3) \sin(t) \] \[ y'' = -4 \sin(t) - (2t + 3) \cos(t) \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!
