найди x' а потом x" x = (2t + 3) * cos(t)

Чтобы найти производные \( x' \) и \( x'' \) функции \( x = (2t + 3) \cdot \cos(t) \), мы сначала найдем первую производную \( x' \), а затем вторую производную \( x'' \).

1. Нахождение первой производной \( x' \)

Мы используем правило произведения для нахождения производной. Если \( u = 2t + 3 \) и \( v = \cos(t) \), тогда:

\[ x' = u'v + uv' \]

Где:

• \( u' = \frac{d}{dt}(2t + 3) = 2 \)
• \( v' = \frac{d}{dt}(\cos(t)) = -\sin(t) \)

Теперь подставим значения:

\[ x' = (2)(\cos(t)) + (2t + 3)(-\sin(t)) \]

Упрощаем:

\[ x' = 2\cos(t) - (2t + 3)\sin(t) \]

2. Нахождение второй производной \( x'' \)

Теперь найдем производную от \( x' \):

\[ x' = 2\cos(t) - (2t + 3)\sin(t) \]

Снова применяем правило произведения:

\[ x'' = \frac{d}{dt}(2\cos(t)) - \frac{d}{dt}((2t + 3)\sin(t)) \]

Первая часть:

\[ \frac{d}{dt}(2\cos(t)) = -2\sin(t) \]

Вторая часть с использованием правила произведения:

\[ \frac{d}{dt}((2t + 3)\sin(t)) = (2)(\sin(t)) + (2t + 3)(\cos(t)) \]

Теперь объединим результаты:

\[ x'' = -2\sin(t) - (2\sin(t) + (2t + 3)\cos(t)) \]

Упрощаем:

\[ x'' = -2\sin(t) - 2\sin(t) - (2t + 3)\cos(t) \]

Что дает:

\[ x'' = -4\sin(t) - (2t + 3)\cos(t) \]

Ответ:

Таким образом, мы нашли:

• Первая производная: \( x' = 2\cos(t) - (2t + 3)\sin(t) \)
• Вторая производная: \( x'' = -4\sin(t) - (2t + 3)\cos(t) \)