Сколько существует двузначных чисел, 20% которых равны сумме цифр этих чисел?
Двузначные числа находятся в диапазоне от 10 до 99. Давайте обозначим двузначное число как \( ab \), где \( a \) — это первая цифра (десятки), а \( b \) — вторая цифра (единицы).
Первую цифру \( a \) может принимать значения от 1 до 9 (так как \( a \) не может быть 0), а вторую цифру \( b \) — от 0 до 9.
Сумма цифр числа \( ab \) равна \( a + b \). По условию, 20% от числа это сумма его цифр:
\[ 0.2 \cdot (10a + b) = a + b \]
Умножив обе стороны на 10 для упрощения уравнения, получаем:
\[ 2 \cdot (10a + b) = 10(a + b) \]
Раскроем скобки:
\[ 20a + 2b = 10a + 10b \]
Приведем подобные:
\[ 20a - 10a = 10b - 2b \] \[ 10a = 8b \] \[ \frac{a}{b} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]
Таким образом, из уравнения видно, что \( a \) должно быть равно \( \frac{4}{5}b \). Это означает, что \( b \) должно быть кратно 5, чтобы \( a \) было целым числом.
Рассмотрим возможные значения для \( b \):
- \( b = 0 \): тогда \( a = \frac{4}{5} \times 0 = 0 \) (недопустимо).
- \( b = 5 \): тогда \( a = \frac{4}{5} \times 5 = 4 \) (допустимо, число 45).
- \( b = 10 \): недопустимо, так как \( b \) не может быть 10.
Таким образом, единственное допустимое двузначное число, которое соответствует условию, это 45.
Следовательно, существует только одно двузначное число, 20% которого равны сумме его цифр.
